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1、1平面向量与三角形平面向量与三角形“四心四心”的应用问题的应用问题湖南省箴言中学 刘光明三角形的外心，内心，重心及垂心，在高考中的考查是比较棘手的问题，先课程教材中所加的内容，更加引起我们的重视，尤其与平面向量结合在一起，那就更加难于掌握了。本文拟对与三角形的“四心”相关的平面向量问题加以归纳，供学习时参考1 课本原题课本原题例例、已知向量满足条件，求证：123,OP OP OPuuu r uuu r uuu r1230OPOPOPuuu ruuu ruuu rr123| | | 1OPOPOPuuu ruuu ruuu r是正三角形123PP P分析分析 对于本题中的条件，容易想到，点是的外
2、心，而123| | | 1OPOPOPuuu ruuu ruuu rO123PP P另一个条件表明，点是的重心1230OPOPOPuuu ruuu ruuu rrO123PP P故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形在 1951 年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的 显然，本题中的条件可改为123| | | 1OPOPOPuuu ruuu ruuu r123| | |OPOPOPuuu ruuu ruuu r2 高考原题高考原题例例、O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个
3、点，动点 P 满足则 P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） ()0,).|ABACOPOAABACuuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu rA外心B内心C重心D垂心分析分析 已知等式即，设，显然都是()|ABACAPABACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r,|ABACAEAFABACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r,AE AFuuu r uuu r单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，APABC选B例例、的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为ABC2H，则实数 m = ()OHm OAOBOCuuu
4、 ruu u ruuu ruuu r分析分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，0AH BC uuu r uuu rg向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有() ()0OHOAOCOBuuu ruu u ruuu ruuu rg，即，由是外心， () ()0m OAOBOCOAOCOBuu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu rg22()(1)0m OCOBmOA BCuuu ruuu ruu u r uuu rgO得，由于是任意三角形，则不恒为，故只有恒成立(1)0mO
5、A BCuu u r uuu rgABCOA BCuu u r uuu rg1m 或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，OOMBCMMBC1()2OMOBOCuuuu ruuu ruuu rH则，故与共线，设，则，AHBCAHuuu rOMuuuu rAHkOMuuu ruuuu r()2kOHOAAHOAOBOCuuu ruu u ruuu ruu u ruuu ruuu r又，故可得，有()OHm OAOBOCuuu ruu u ruuu ruuu r(1)()()022kkmOAmOBmOCuu u ruuu ruuu r，得102kmm 1m 根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的
6、重心()OHm OAOBOCuuu ruu u ruuu ruuu r OAOBOCuu u ruuu ruuu r坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，GO均有，由题意，题目显然叙述的是一3OAOBOCOGuu u ruuu ruuu ruuu r个一般的结论，先作图使问题直观化，如图，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的2HGGO诱因，其一是，均与三角形的边垂直，则,BF OTAC；其二，点是三角形的中线的三等分/BFOTGBT点此时，会先猜想，但现在缺少一个BHGTOG关键的条件，即，这样由两个三角形的两边长2BHOT对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似当然，在考试时，
7、只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 O、G、H 分别是ABC 的外心、重心和垂心，则 O、G、H 三点共线，且 OGGH12，利用向量表示就是3OHOGuuu ruuu r例例、点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足，则点 OOA OBOB OCOC OAuu u r uuu ruuu r uuu ruuu r uu u rggg是的（ ） ABCA三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点GHBCAFTEDO图 3C三条中线的交点D三条高的交点分析分析 移项后不难得出，点 O 是的垂心，0OB CAOC ABOA CBuuu r
8、uu u ruuu r uuu ruu u r uu u rrgggABC选D3 推广应用题推广应用题例例 在内求一点，使最ABCP222APBPCP小分析分析 如图，构造向量解决取为基向量，设，有,CAa CBbuu u rr uu u rrCPxuu u rr,APxa BPxbuuu rrr uu u rrr于是，22222222211()()3()()33APBPCPxaxbxxabababrrrrrrrrrrrr当时，最小，此时，即，则点为1()3xabrrr222APBPCP1()3OPOAOBOCuuu ruu u ruuu ruuu rP的重心ABC例例 已知为所在平面内一点，
9、满足OABC，则为的 心222222|OABCOBCAOCABuu u ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu rOABC分析分析 将，也类似展开代入，已2222|()2BCOCOBOCOBOC OBuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu rg22| ,|CAABuu u ruuu r知等式与例的条件一样也可移项后，分解因式合并化简，为垂心O例例 已知为的外心，求证：OABCsinsinsin0OABOCOBAOCOCAOBuu u ruuu ruuu rr分析分析 构造坐标系证明如图，以为坐标A原点，在轴的正半轴，在轴的上方BxCx，直线的方程是20
10、1 2AOBSx yBC，由于点与点必在直32323()0y xxxyx yAO线的同侧，且，因此有BC230x y，得033020230x yx yx yx y302303201()2BOCSx yx yx yx y直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且AC330y xx y(1,0)OACC P 图 A B y A 00(,)O xy x 22(,)B xy 图 33(,)C xy 4，因此有，得33100yx 03300x yx y03301()2AOCSx yx y于是，容易验证，又0BOCAOCAOBOA SOBSOCSuu u ruuu ruuu rr，1|sin2BOCSOB OCBOCuuu ruuu r，又，则所证成1|sin2BOASOB OAAOBuuu ruu u r1|sin2AOCSOA OCAOCuu u ruuu r| | |OAOBOCuu u ruuu ruuu r立
