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1、浅谈高等代数的应用马克思曾经说过，一门学科只有成功地应用了数学时才真正的达到了完善的地步。数 学在经济学、物理学、化学以及生物学等很多领域都有非常广泛的应用，在学习高等代数 的过程中，我发现代数在生活和实践中都有着不可或缺的位置。高等代数的主要学习中心 又是矩阵，就如在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为交换这些矩阵的过程。除线 性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常 常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系 的问题，归结成矩阵为问题以
2、后却是相同的。故矩阵的地位在代数中是不能比拟的。下面 就矩阵在化学方程式的平衡问题、交通流量问题、几何应用等方面来进行讨论。化学方程式的平衡问题在光合作用过程中,植物能利用太阳光照射将二氧化碳()和水()转化成葡萄糖2CO2H O()和氧气().该反应的化学反应时具有下列形式6126C H O2O12223246126xCOx H Ox Ox C H O为了使反应平衡,我们必须选择恰当的，及才能使反应式两端的碳（C）原子，1x2x3x4x氢（H）原子及氧（O）原子数目对应相等。由含有一个 C 原子，而含有 62CO6126C H O个 C 原子，故为维持平衡，必须有146xx类似地，为了平衡
3、O 原子，必须有1234226xxxx最后，为了平衡 H 原子，必须有24212xx如果将所有未知量移至等号左边，那么将得到一个齐次线性方程组121234246022602120xxxxxxxx 显然方程组有非零解，为了使化学反应式两端平衡，必须找到一个每个分量均为正数的解。按通常解法我们可以取作为自由未知量，且有1234,Tx x x x4x142434666xxxxxx 特别地，取时，则。此时化学反应式具有形式41x 1236xxx2226126666COH OOC H O交通流量问题某城市单行线如图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). （1）建立确定每
4、条道路流量的线性方程组. (2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3)当 x4=350, 确定 x1,x2,x3的值. (4)若 x4=200, 则单行线应该如何改动才合理? 提示： (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. （3）矩 阵化成行最简矩阵的命令是 rref(A)模型假设：（1）每条道路都是单行线（2）每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等 模型建立：根据上图和上述条件，在，四个路口进出车辆数目分别满足500= 12xx14400300xx23100200xx43300xx模型求解：根据上述等式可得如下线性方程组 121
5、42334500100300300xxxxxxxx 其增广矩阵( , )A b 1 1 0 0 500 1 0 0 -1 -1000 1 1 0 3000 0 -1 1 300 1 0 0 -1 -100 0 1 0 1 6000 0 1 -1 -3000 0 0 0 0 由此可得： 142434100600300xxxxxx 即 142434100600300xxxxxx 为了唯一确定未知流量，只要增添统计的值就可以了4x当时，确定4350x 123250,250,50xxx当，则，这表明单行线“”应该改为4200x 123100,400,1000xxx “”才合理。 模型分析：由（A，b)
6、的行最简形可见,上述方程组中的最后一个方程组是多余的.这意味着 最后一个方程中的数据“300”可以不用统计。几何应用设矩阵满秩，试判断两直线111222333a b ca b ca b c 111222333a b ca b ca b c 与的关系。333 1 121212:xaybzcLaabbcc111 2 232323:xaybzcLaabbcc解：将视为空间中三点对应的向量，由空间解析几何中关于,iiiiaa b c(1,2,3)iM i 三向量混合积的几何意义知，直线与共面的充要条件是三向量1L2L122331,aa aa aa共面（线性相关）。很明显，故与共面。而令122331()()()0aaaaaa1L2L，由题设矩阵满秩，即线性无关得，即112223()()0k aak aa123,a a a120kk与线性无关，亦即两向量不平行，因此与相交。12aa23aa1223,aa aa1L2L
