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1、第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制年年 级级高二学科学科数学内容标题内容标题排列与组合解决实际问题（理科）编稿老师编稿老师胡居化一、一、 教学目标：教学目标：（1）利用计数原理及排列组合知识解决综合性的实际问题，（2）体会方程的数学思想、等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想及捆绑法、插空法、隔板法等数学思想方法的应用.二、二、 知识要点知识要点：1. 解决有限制条件的排列组合问题的常用的数学方法：（1）直接法：从问题的正面入手，其基本方法有（i）元素分析法：即以元素为主，优先考虑特殊的元素的要求，再考虑其它的元素.（ii）位置分析法：即以位置为主，优先考虑特殊的位置，再考虑其它位
2、置.（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法.在直接法和间接法中常用以下一些方法解决排列与组合问题.枚举法：将所有排列的情形一一例举出来（适应排列数较少）捆绑法：用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）.插空法：用于两个（或更多）元素不相邻排列.隔板法：用于相同的元素分成若干部分.每部分至少一个的排列2. 某些元素定序排列问题处理方法对于某些元素定序排列问题的处理方法有两种：（1）整体法，即有 m+n 个元素的排成一列，其中 m 个元素的排列顺序不变，将（m+n）个元素排成一列有种排法，然nm nmA 后任取一个排列，固定其它 n 个元素位置不动，把 m 个元素交换顺序，共有种
3、排法，m mA其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种不同的排法.（2）逐步插空法.m mnm nm AA 3. 分组分配问题的处理方法（1）分组问题的处理途径：（a）非均匀不编号分组：即将 n 个不同的元素分成 m 组，每组元素个数均不同， （m组中的元素个数分别是，其中）m21a,a,aLnaaamL21则分法种数是mma aa ana nCCCL211（b）均匀不编号分组（平均分组）：将 n 个不同的元素平均分成 m 组（每组元素个第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制数相同都是 a） ，则不同的分组方法有， （其中 n=ma）m ma aa ana n ACCCL（2）分配问题
4、：将 n 个不同的元素分给 m 个人称为分配问题，处理的方法：先分组后分配.【典型例题典型例题】知识点一：有限制条件的排列组合问题知识点一：有限制条件的排列组合问题例 1. 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 张，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方法有（ ）A. 5 种B. 6 种C. 7 种D. 8 种题意分析题意分析：本题是限制条件的组合问题，根据所给选项数字较小，不好使用计数原理，可用枚举法解决.思路分析：思路分析：本题的限制条件有三个，分别是（i）软件至少 3 张， （ii）磁盘至少 2 盒，（iii
5、）花钱总数不超过 500 元，故要对购买的软件数和磁盘数进行讨论.解题过程：解题过程：对购买的软件数、磁盘数进行讨论如下：（1）软件买 3 张，磁盘买 2 盒，花钱 320 元；（2）软件买 3 张，磁盘买 3 盒，花钱 390 元；（3）软件买 3 张，磁盘买 4 盒，花钱 460 元； （4）软件买 4 张，磁盘买 2 盒，花钱 380 元；（5）软件买 4 张，磁盘买 3 盒，花钱 450 元； （6）软件买 5 张，磁盘买 2 盒，花钱 440 元；（7）软件买 6 张，磁盘买 2 盒，花钱 500 元.故选购方式有 7 种，选 C.解题后的思考：解题后的思考：本题解决的关键是：购买的
6、软件数（单位是元）5007060磁盘数.体现了分类讨论的数学思想的应用，易错点是：分类出现：重和漏的现象.例 2. 某小组 6 个人排队照相留念：（1）若分成两排照相，前排 2 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？（2）若分成两排照相，前排 2 人，后排 4 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ （3）若排成一排照相，甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照相，6 个人中有 3 名男生和 3 名女生，且男生不能相邻，有多少种不同的排法？（5）若甲、乙、丙三人的顺序不变有多少种排法？题意分析：题意分析：本题是排队问题，这类问题都是排列问题.思路分析：思路
7、分析：对于（1）是 6 个元素的全排列， （2）采用元素分析法，优先安排甲，乙两个特殊元素， （3）采用捆绑法， （4）采用插空法， （5）定序问题采用倍缩法.解题步骤：解题步骤：（1）分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第 36 个位子看成是第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制第二排而已，所以实际上是 6 个元素的全排列=720 种；6 6A（2）先确定甲的排法，有种，再确定乙的排法，有种，最后确定其他人的排1 2A1 4A法，有种，共有 =192 种；4 4A1 2A1 4A4 4A（3）采用“捆绑法”，先把甲、乙看成 1 人，与其他人排队有种，然后甲、乙之间5 5A再排
8、队，有种，共有=240 种；2 2A5 5A2 2A（4）采用“插空法”，先把 3 名女生的位子拉开，在两端和她们之间放进 4 把椅子，如： 女 女 女 ，再将 3 名男生排在这 4 个位置上有种，3 名女生之间有种排法，3 4A3 3A共有=144 种排法.3 33 4AA（5）在不考虑任何限制的条件下 6 个人的排列有种，其中甲乙丙三人的排列有6 6A种，由于甲乙丙顺序不变，故只有其中的一种排法符合要求，即有120 种.3 3A3 36 6 AA解题后的思考：解题后的思考：对于排列组合中必须在一起的元素处理时把它捆绑为一个整体，然后考虑其内部的位置关系；对于排列中不能相邻的元素，采用插空法
9、处理，即把整个位置看作是一个抽屉，把无条件限制的元素作为隔板安置在抽屉中，最后把要求不相邻的元素放置在由隔板所形成的空格中，这里应注意，如果无条件限制的元素有 n 个，那么它们所形成的空格数目为 n1 个.例 3. 3 个大人和 2 个小孩要过河，现有 3 条船，分别能载 3 个、2 个和 1 个人，但这5 个人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法？题意分析：题意分析：这是一道排列与组合综合性的试题，是有限制性的排列组合问题，其限制条件是在每只船载人的人数限制下小孩与大人同船，因此需把小孩分类.思路分析：思路分析：假设 1 号船载 3 人，2 号船载 2 人，3 号船载 1 人
10、，小孩显然不能进第 3 号船，也不能两个同时进第 2 号船.（1 个小孩进 3 号船或 2 个小孩进 2 号船没有大人陪伴） ，由此对小孩“进船”的情形进行分类.解题步骤：解题步骤：从“小孩”入手.可分为两类第一类：2 个小孩同时进第 1 号船，此时必须要有大人陪着（i）2 个大人同时进第 2 号船只有 1 种情形，先选 3 个大人中的一个进 1 号船有种，1 3C此时共有种过河方法.1 31 C（ii）2 个大人分别进 2、3 号船有种，再从 3 个大人中选一个人进 1 号船有种，2 2A1 3C此时共有，有 N1= +=9（种）过河方法2 21 3AC1 31 C2 21 3AC第 4 页
11、 版权所有版权所有 不得复制不得复制第二类：2 个小孩分别进第 1、2 号船，此时第 2 号船上的小孩必须要有大人陪着，另外 2 个大人同时进第 1 号船或分别进第 1、3 号船，有过河方法=18（种）.)1 (2 21 32 22ACAN因此，过河的方法共有：N=N1+N2 =27 种.解题后的思考：解题后的思考：本题解题的关键是对“元素” （小孩）分类，即元素分析.只有合理的分类才能解决复杂的问题，然后先选后排.体现了分类讨论的数学思想的应用，易错点：分类不清.小结：小结：本组试题主要是解决有限制条件的排列组合问题，解决问题的关键是看什么样的限制条件？根据限制条件的不同采用不同的方法，如排
12、列数较小的问题采用枚举法，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法等都是我们解决排列组合问题的常用的方法.知识点二：分组分配问题知识点二：分组分配问题例 4. （1）8 个相同的小球放入四个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有_种方法？A. B. C. D. 3 7C3 7A4 8C4 8A题意分析：题意分析：本题是分组问题，把小球分组放入盒子中，如何分才能保证每一个盒子中至少一个小球？思路分析：思路分析：要把 8 个小球分成 4 组，可用三块“隔板”隔开，采用隔板法.解题过程：解题过程：将 8 个球摆成一列，设法分成四部分，则每种分法对应一种放法.要想分成四部分，只需用 3 个隔板将它们隔开.
13、8 个球共有 7 个空隙，选其中 3 个空隙插隔板，共有种分法，故共有种放法.35C3735解题后的思考：解题后的思考：本题是元素无条件的分组问题，把 8 个小球分成 4 组，每组的个数是不定的，只要在 8 个元素之间的 7 个空位插入三块隔板（实际是插入法）体现了等价转化思想的应用.易错点：不能对小球正确分组.该题的数学模型为：方程21xx有个正整数解.)nm,Nnm,(mx* n1 -n 1 -mC例 5. 现有 4 套不同的练习题：（1）平均分给 2 名同学有多少种不同的分法？（2）平均分成 2 份，有多少种不同的分法？题意分析：题意分析：本题是分组分配组合问题，注意（1） （2）的区别
14、.思路分析：思路分析：（1）4 套练习题平均分给 2 名同学，一名同学从 4 套练习题中选 2 套，余下 2套给另一名同学， （2）把 4 套练习题分成 2 份有 2 种重复的情形.解题过程：解题过程：（1）甲学生得 2 套，有种，乙学生得 2 套有种分法，根据乘法原理共2 4C2 2C第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制有=6 种分法.2 4C2 2C（2）按（1）分法有种重复，所以不同的分法有=3 种.2 2A2 22 22 4 ACC实验检验：把 A、B、C、D 四个字母分成 2 份：AB，CD； AC，BD；AD，BC； BC，AD；BD，AC；CD，AB；从这个具体例子可以
15、发现，AB，AC，AD，BC，BD，CD 各出现两次，重复计为.2 2A解题后的思考：解题后的思考：对平均分组问题要注意重复的情形，例如：把 A，B，C，D，E，F 六个字母平均分成 3 份，出现种重复.3 3A一般地，把 4 个元素平均分成 2 份，不同的分法有，把 6 个元素平均分成 3 份，2 22 22 4 ACC不同的分法有，把 8 个元素平均分成 4 份，不同的分法有等，本题3 32 22 42 6 ACCC4 42 22 42 62 8 ACCCC的易错点：忽视平均分组中的重复问题，把（1） （2）混淆为同一答案.例 6. 将 4 个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒
16、中；恰有一个空盒的放法共有多少种？恰有 2 个空盒的放法共有多少种？题意分析：题意分析：本题是分组分配问题，解题的原则是先选后排，选盒子或是选球都可以.思路分析：思路分析：对可以从 4 个盒子中选一个空盒子，4 个球分在余下的 3 个空盒子中或对小球先分组，分为“2，1，1” ，三组然后装入盒子中.对可以从 4 个小球中选出 2 个，看作一个球，问题转化为“3 个球” ，4 个盒子，再求解.解题过程：解题过程：解法一：先从 4 个盒子中选一个为空，然后从剩余的 3 个盒子中选出一个，再从 4 个小球中选出 2 个放入此盒，还有 2 个盒子放 2 个球，每个盒子放一个球，显然有2 种放法，共有2=144 种.1 4C1 3C2 4C解法二：先从 4 个小球中选出 2 个，看作一个球.问题转化为“3 个球，4 个盒子，每个球都放入盒
