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1、中小学数学 2 0 1 4 年 1 、 2 月中旬( 初中) 辅助量 ( 元) 天津市静海县诌庄镇中学( 3 0 1 6 0 5 ) 刘家良 当我们感觉题中的已知条件“ 少” 而无所适从时， 常常根据 问题需要引进一两个辅助量( 元) 来启动解 题程序 辅助量( 元) 虽是问题解答中的“ 配角” ， 但对 沟通数与式、 式与式、 已知量和未知量之间的关系往 往起着不可或缺的“ 中介” 力量， 成为问题解答的润化 剂 辅助量 ( 元 ) 虽参 与列 式、 建立方程( 或不等式 ) ， 但 在运 算或变形过程 中， 要 么被“ 消去” ， 要么被 “ 约 去” ， 要么通过几个辅助量( 元) 之间
2、组成的式子以“ 整体” 面孔呈现所求结果 简言之， 辅助量( 元) 最后自然“ 退 出” ， 与题 的结果无关 ， 是一个 只讲 奉献不 图索取 的参 量 辅助量( 元) 韵“ 设而不求” 的特点， 折射 出了解题 者的符号意识和参数思想 现举例说明： 例 1 已知 a _一 b C， 求分式 的值- 分 析 已知 中三个分数 的 比值相等 ， 故 此想到将 “ 比值” 作为辅助量 解 设 a 一_ b 一_ c=J ， 则 a -2 k ， b =3 k ， c =4 k 所 二 j 斗 I l3a- 2b +c：3 x2 k - 2x 3 k +4 k：4 +b +c 2 k +3 k +
3、4 k 9 说明 ： 此题还可以先将a 、 b 分别用C 的式子表示， 然后再代入所求式子， 但计算量会大些 通过辅助量 的引入， 搭建了a 、 6 、 C 与比值的数量关系 例 2 某企业生产一种商品， 每件成本价是 4 0 0 元， 销售价是5 1 0元， 本季度销售了若干件 为进一步 扩大市场 ， 该企业决定在降低销售价的同时降低生产 成本 ， 经过市场调研 ， 预测下季度这种产品每件销售 价降低 4 ， 销售量将提高 1 0 ， 要使销售利润保持不 变， 该产品每件的成本价应降价多少元? 分析销售利润取决于商品的销售量和每件商 品的利润 ， 而原销售量在题中不具体， 故可考虑将原 销售
4、量作 为一个辅 助元 解设该产品每件的成本价应降价 元， 本季度 销售量为q 件 根据题意， 得 5 1 0 ( -1 -4 ) 一( 4 0 0 -x ) 口 ( 1 +l 0 ) =( 5 l O 一 4 0 0 ) q q #O ， 5 1 0 X ( 1 4 )一 ( 4 0 0一 ) ( i + 第 5 6 页 1 O ) =5 1 0 -4 0 0 解得 =1 0 4 说明： 通过引进本季度销售量g 件为辅助元， 则为 顺利建立方程创造了条件 例 3 如 图 l _ 双 曲线 y = ( 0 ， 0 ) 经过矩 形 O A B C的边B C的中点E ， 交 A B于点D， 若梯形O
5、 D B C的面 积为3 ， 求双曲线的解析式 解 设 O C=a ， O A=6 ， 则 矩形 O A B C的面积 为a b ， E ( a ， 鱼 ) 图 1 因为S =鲁， 所以鲁+3 = a b 因为 点E ( a ， ) 在双曲 线， ， =旦 上， 所以昙=鱼， 即 b = 2 k 所以 Z a 要+3 =2 解得k =2 因此y =兰 注： 解答此题时注意到图中AA O D的面积与k 值 的数量关系 引进矩形两条邻边的长为辅助元( a与b ) 构筑起 了方程 同时面积“ 。 b ” 被“ 2 ” 替换， 而k 值与 矩形两条邻边的长无关 例 4 如 图 2 ， 已知 点 A 、
6、 B 在 双 曲线 ， =堕 ( j 0 ， O ) 上 ， A C x 轴于 点 C ， B D y 轴于 点 D， A C与 B D交 于 点 P， P是 A C的中点 ， 若 AA B P的面积 为 3 ， 求k 的值 图 2 解 设 P c g ， 则 A P g ， A C =2 q ， 所 以A ， 2 q ) 因为B D y 轴 ， 所以B D x 轴， B点和P点的纵坐 标 相 同 ， 即 均 为 g ， 所 以 曰 告 ， g ) 因 为 = B D D P = k一 k k，S Bp = A P P ， 所 以 g 南 3 解 得 J =1 2 注 ： 这里将P C的长作
7、为辅助元 ， 则确定 了点的坐 中小学数学 2 0 1 4 年 1 、 2 月中旬( 初中) 让 “ 队 列 问 题 山东省淄博章张店区第七中学( 2 5 5 0 0 0 ) 孙爱丽 人教版七年级数学上册， 第三章第二节课后“ 拓 广探索” 中有这样一个题： 例 1 一列火车匀速行驶， 经过一条长3 0 0 m的隧 道需要 2 O 秒的时间， 隧道的顶上有一盏灯， 垂直 向下 发光， 灯光照在火车上的时间是1 O 秒 根据以上数据， 你能否求出火车的长度 ?若能， 火车的长度是多少? 若不能， 请说明理由 本题给出的条件看似和火车的长度没有关系， 所 以实际教学中很多学生不知如何下手 但作为教
8、师都 知道这一问题属于“ 行程” 类问题， 只不过因为运动物 体本身有长度， 和一般的点动问题不一样罢了， 笔者 暂且给这类问题起个名字叫“ 队列问题” 吧 那么这类 问题该如何解决呢?笔者总结了一种“ 隐含条件是身 长， 化线为点算路程” 的方法介绍给大家， 以期抛砖引 玉 ， 和同行们 交流 对于上述课本中的这道题 ， 条件中有时间， 有路 程， 可归类为行程问题， 于是我们考虑用公式： 路程= 速度 X时间 因为问题中出现两个时间和一个路程， ( 接上页) 标， 表示了相关线段的长 ， 为列 出方程铺平 了道路 而在运算过程 中， 它被“ 约” 掉了 例 5 (2 o 1 2 年 扬 州
9、 市 中 考 题 ) 如 图 3 ， 双 曲 线 y = 妻 经过R t O MN斜边上的点A， 与直角边MN相交于点 曰， 已知 O A =2 A N， O A B的面 积 为 5 ， 则 k的值 是 图3 图4 解析如图4 ， 作A C 上 轴于点C ， 交O B于点D 由 于S M=s B 0 I I = ， 所以S o D =S 口 B 呻 c D 因为S A o =5 二 册+Js =5 ， 所 以S , o B =Js 口 边 形 日 jlc D +S =5 ， 即S 梯 形 -5 因为A C #N B ， O A =2 A N ， 所 以O C =2 C M 设点A ( 2 ：
10、： ) ， 则点 B ( 3 x 0 ， = ) ， C M=x Zxo JXo 于是， 得 1 x o ( + ) -5 解得k -1 2 0 Dg C, o 注： 这里将点A的横坐标作为辅助元， 在运算过程 中， 被“ 约” 掉 了 转化( 将AA O B的面积转化为梯形 A C MB的面积 ) 是 打开此 题思路 的一 把钥匙 同时 ， 融 入了教形娃， 争和方程思想， ，比 题蕴含的“ 思想” 性较强 根据实际问题的需要， 辅助量的设置有时会出现 两个或 以上 例6 甲、 乙两人骑 自行车分别从A 、 两地同时 相向而行， 第一次两人在距离 地 7 千米处相遇， 相遇 后两人继续行驶，
11、 到达 目的地后又立即返回， 在距离A 地4 千米处再次相遇， 求A 、 曰两地相距多少千米? 分析甲、 乙两次相遇， 每次相遇时的时间相等， 但甲、 乙的速度都是未知的， 欲建立时间方面的等量 关系， 需要将 甲、 乙的速度进行“ 量化” 解设A 、 B两地相距s 千米， 甲、 乙的速度分别为 千米 时， Y千米 时 根据题意， 得 = ， Y = 由 ， 得 丽s - 7 = 7_ 解 得 s = 041 一 S 十 斗 ( 舍 ) ， S =1 7 说明 ： 此题将 甲、 乙的速度设为辅助元， 顺利建立 了方 程 例 7 ( 内江市中考题) 有 甲、 乙、 丙三种商品， 如 果购甲3 件
12、、 乙2 件、 丙1 件共需3 1 5 元钱， 购甲1 件、 乙 2 件、 丙3 件共需2 8 5 元钱， 那么 甲、 乙、 丙三种商品各 一件共需 元钱 分析设购 甲、 乙、 丙三种商品每件各需 元、 Y 元、 z 元， 本题所求的结果是 +y + ” 的值 解根 据 题 意 ，得 芝 三 ： 由 c + l 1- V 1_ 一 6 I J ( 2 ) ， 得4 +4 ， ， +4 z =6 0 0 ， 即 + + =1 5 0 因此 ， 购 甲、 乙、 丙三种商品各一件共需 1 5 0 元钱 评析 ： 方程组为三元不定方程组， 方程组的解不 唯一， 而此题不是具体求 、 = 的值， 而是整体去求 +y +i ” 的值 通过观察， 不难发现， 将两个方程相 加， 就会得出含 +， ， + ” 的等式， 这一过程体现了解 题者的整体思想 方程是解答数学问题的一个重要工具 t 而例 2 至 例7 着实让我们体验到了辅助元在帮助我们列方程寻 找数量关系和等量关系过程中起到的润滑效果， 使问 题得以巧妙解决 第 5 7页
