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1、九江学院理学院 数学分析教案 第 1 页 共 8 页22 求导法则求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义; 明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知 道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学 会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我 们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给 了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）. 但从我们计算左边几个
2、函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本 初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能 较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：xxxfcossin)(1xxg2sin)(1xxxfcossin)(2)sin()(2axxgxxxfalogcos)(3xxgarcsin)(3xcxfsin)(4xxgarccos)(4一、导数的四则运算一、导数的四则运算问题问题 1 1 设,求.xxxfcossin)()( xf分析分析 利用导数的
3、定义及极限的四则运算知,.)(cos)(sinsincos)( xxxxxfm即)(cos)(sin)cos(sinxxxx一般地,有如下和的导法则：定理定理 1 1（和的导数） 设)(xf,)(xg在x点可导,则)()( )()(xgxfxgxf（求导是线性运算） 证明证明 令 )()()(xgxfxy。时当0)()()()()()()()()()(xxgxfxxgxxg xxfxxfxxgxfxxgxxf xy问题问题 2 2 设,则对吗？xaxxf sin)(aaxaxxfxxlncos)()(sin)( 九江学院理学院 数学分析教案 第 2 页 共 8 页分析分析 一般地,有如下乘积的
4、求导法则：定理定理 2 2（积的导数）设)(xf,)(xg在x点可导,则)()()()( )()(xgxfxgxfxgxf（它导它不导,它不导它导,然后加起来）证明证明 令 )()()(xgxfxy。时当分子0)()()()()()()()()()()()()()()()()()(xxgxfxgxfxxgxxgxfxxgxxfxxfxxgxfxxgxfxxgxfxxgxxf xy推论推论 1 1 .)( )()()()( )()()()( )()()()(0000000000xwxvxuxwxvxuxwxvxuxxwxvxu推论推论 2 2 若函数在知可导,C 为常数,则.)(xv0x)( )
5、(cos(00xvCxxx问题问题 3 3 设,求.xaxfaxlog)()( xf一般地,存如下商的运算法则：定理定理 3 3（商的导数）（商的导数） 设)(xf,)(xg在x点可导,则)()()()()( )()(2xgxgxfxgxf xgxf .证明证明 令 )(1)(xgxy。时当0)()()()(1)()()(1 )(112 xxgxgxgxxgxxgxxgxgxxgxxy)(1)()()( xgxfxgxf给出（3）.推论推论 (1)(1) )( )(xfcxfc. (2) niiniixfxf11)()( .九江学院理学院 数学分析教案 第 3 页 共 8 页(3) )()()
6、()(, )()(1 11xfxfxfxKxKxfnkknkknjiLL . .利用导数的四则运算法则举例.例例 1 1 ,求,. xxxxf95)(23)( xf)0( f例例 2 2 ,求. 例例 3 3 证明：,. xxylncosxy1)(nnnxx Nn例例 4 4 证明：,.xx2sec)(tanxx2csc)(cot例例 5 5 证明：,.xxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc.利用导数的四则运算法则求导数举例：1 ; 2 ; xxxfsin)(2xxxxfcossin)(33 ; 4 ; 22)(xxfxxxfcos)(25; 6;xxxxf7sin)(xxx
7、xxfcos)(327; 8; xtgxxxxxflnsin)(2 xtgxxxf3sin5)(9.xxtgxxeyx ln1sin2二、反函数的导数二、反函数的导数问题问题 1 1 设,求.xxfarcsin)()( xf定理定理 4 4 设)(yx在区间),(dc上连续,严格上升,在),(0dcy 点可导,且 0)(0 y, )(00yx.则反函数)(xfy 在0x点可导,且)(1 )(1)(000xfyxf .注注 若)(yx在),(dc可导,导数)0(0或,则反函数)(xfy 存在,且)()(1 )(1 )(1)(xfyyxfyxf.这里导数)0(0或可推出)(y严格上升（下降）,反函
8、数之导数公式也可写成 dydxdxdy1.九江学院理学院 数学分析教案 第 4 页 共 8 页定理的证明定理的证明 要证00)()(lim0xxxfxfxx存在,注意到这个比式是函数)()()(00 yyyyyg与 )(xfy 的复合,由定理条件知)(10)0()(1lim)()()()(lim00000y yyyyyyxfxfyyyy.再由反函数连续性,0xx 时,0yy ,由复合函数求极限定理得)(1)(lim)(lim)()(lim000000yygxfgxxxfxfyyxxxx.例例 6 6 ) 1,0(aaayx,求y.解解 yxalog,axaxayey xayyaaaxlnlog
9、)(log1)( ,反过来,如果)(xa已知,也可求 ye aayaxaxa xxalog ln1 log)(1)(log .例例 7 7 xy ,求y.解解 xeyln,1lnxxexy .例例 8 8 xyarcsin,求y.解解 yxsin,。 211)cos(arcsin1arcsin)(sin1)(arcsinxxxyyx例例 9 9 xyarccos,求y.例例 1010 xarctgy ,求y.三、复合函数的导数三、复合函数的导数问题问题 1 设,求;2）. 设,求;3）. 设xxf2sin)()( xf)sin()(xaxf)( xf,求.xxf)()( xf九江学院理学院 数
10、学分析教案 第 5 页 共 8 页定理定理 5 5 设)(0uf 与)(0xg存在,)(00xgu ,则复合函数)()(xgfxF在0x点可导,且 )()()(000xgxgfxF.注注 若)(uf的定义域包含)(xgu 的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数 )()(xgfxF在)(xg的定义域上可导,且)()()(xgxgfxF（怀中抱月）或 xuxuyy, dxdu dudy dxdy .定理的证明定理的证明 定义函数 。000 00,)(,)()( )( uuufuuuuufuf uA)(uA在0u点连续,)()()(lim00 0ufuAuA uu .由恒等式,)()()(0
11、0uuuAufuf,我们有000000)()()()()()()( xxxgxgxgAxxxgfxgf xxxFxF 令0xx ,得 )()()(000xgxgfxF.我们引进)(uA是为了避免再直接写表达式000000)()()()()()( xxxgxg uuufuf xxxFxF 中当0xx 时,可能会出现 0uu 情况.例例 1 1 21xy,求y. 解解。 221 22121 21)2()1 (21)1 ()1 (21xxxxxxy例例 2 2 2sin xy ,求y.解解 222cos2)(cosxxxxy.例例 3 3 )sin(sin3xy ,求y.解解 )cos(sincos
12、3)(cos)cos(sin332333xxxxxxy.例例 4 4 )1ln(2xxy,求y.九江学院理学院 数学分析教案 第 6 页 共 8 页解解2222211112211)1(xxxxxxxxxy .例例 5 5 |ln xy ,求y.解解 0x时,xy1 ; 0x时,xxxxy1)(1)ln( , 0x时,xx1) |ln(.例例 6 6 )2sin(lnxy ,求y.解解 )2sin()2cos(2)2cos()2sin(2 xxxxy . 四、四、 隐函数微分法隐函数微分法若可微函数)(xyy 满足方程0),(yxF,则其导数可以从0),(yxFdxd求出.一个方程0),(yxF
13、何时能唯一决定一个可微函数)(xyy ,留待日后解决,现在我们通常假定 能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题.例例 7 7 222ayx,求过点),(00yx)0(0y的切线方程.解解 对方程222ayx求导,心中记住)(xyy 是x的函数,得022yyx，yxxy)(，在),(00yx点上,00 0)(yxxy ,过),(00yx切线方程为)(0 00 0xxyxyy ,2 02 000yxyyxx,即 2 00ayyxx. 五、五、 对数微分法对数微分法 我们结合例子研究对数微分法例例 8 8 )0(3 aaxxy ,求y.九江学院理学院 数学分析教案 第 7 页 共 8 页解解 函数定义域)0 ,(和),(a,取对数 |ln21|ln23lnaxxy ,两边对)(xyy 求导,采用隐函数微分法,得 )(2321 211 23 axxax axxyy ,所以 axx axxaxy3)(232.例例 9 9 vuy ,)(xuu ,)(xvv ,求y.解解 取对数,得uvylnln,两边求导,得 u
