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1、1异方差异方差用 OLS 法得到的估计模型通过统计检验后，还要检验摸型是否满足假定条件。由 1.3 节知，只有模型的 4 个假定条件都满足时，用 OLS 法得到的估计量才具有最佳线性无偏特 性。当一个或多个假定条件不成立时，OLS 估计量将丧失上述特性。本节讨论当假定条件 不成立时，对参数估计带来的影响以及相应的补救措施。 以下讨论都是在某一个假定条件被违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。分为 5 个步骤。 （1）回顾假定条件。 （2）假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。 （3）定性分析假定条件是否成立。 （4）假定条件是否成立的检验（定量判断） 。 （5）假定条件不成立时的补救措施。
2、1.5.1 同方差假定 模型的假定条件 给出 Var(u) 是一个对角矩阵，Var(u) = 2I = 2 (5.1)10101O且 u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素都是常数且相等，即每一误差项的方差都是有限 的相同值（同方差假定） ；且非主对角线上的元素为零（非自相关假定） ，当这个假定不成 立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。Var(u) = 2 = 2 2 I. (5.2)TTTTTT.212222111211当误差向量 u 的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在 异方差，即误差向量 u 中的元素 ut 取自不同的分布总体。非主对角线上的元素表示误差项
3、 之间的协方差值。比如 中的 i j与 2的乘积 ,（i j）表示与第 i 组和第 j 组观测值相 对应的 ui与 uj的协方差。若 非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自 相关的。本节讨论异方差。下一节讨论自相关问题。以两个变量为例，同方差假定如图 5.1 和 5.2所示。对于每一个 xt值，相应 ut的分布方差都是相同的。202460102030YX图 5.1 同方差情形 图 5.2 同方差情形1.5.2 异方差表现与来源 异方差通常有三种表现形式， （1）递增型， （2）递减型， （3）条件自回归型。递增型 异方差见图 5.3 和 5.4。图 5.5 为递减型异方差。图 5.
4、6 为条件自回归型异方差。010020030005000100001500020000XY图 5.3 递增型异方差情形 图 5.4 递增型异方差0501001502002500102030YX-8-6-4-20246200400600800100012001400DJPY图 5.5 递减型异方差 图 5.6 复杂型异方差(1) 时间序列数据和截面数据中都有可能存在异方差。 (2) 经济时间序列中的异方差常为递增型异方差。金融时间序列中的异方差常表现为 自回归条件异方差。 无论是时间序列数据还是截面数据。递增型异方差的来源主要是因为随着解释变量值 的增大，被解释变量取值的差异性增大。1.5.3
5、异方差的后果 下面以简单线性回归模型为例讨论异方差对参数估计的影响。对模型yt = 0 + 1 xt + ut 当 Var(ut) = t 2，为异方差时（t 2是一个随时间或序数变化的量） ，回归参数估计量仍具有无偏性和一致性。以为例13E()= 1 1但是回归参数估计量不再具有有效性。仍以为例，1Var () = 1 2222)()(xxxxttt 22)(xxt因此异方差条件下的失去有效性。1另外回归参数估计量方差的估计是真实方差的有偏估计量。例如E() Var () Var111.5.4 异方差检验1.5.4.1 定性分析异方差(1) 经济变量规模差别很大时容易出现异方差。如个人收入与
6、支出关系，投入与产出 关系。(2) 利用散点图做初步判断。(3) 利用残差图做初步判断。010020030005000100001500020000XY-60-40-20020406080246810 12 14 16 18 20 22 24 26 28RES1.5.4.2 异方差检验(1) White 检验 White 检验由 H. White 1980 年提出（下面要解释的 Goldfeld-Quandt 检验必须先把数 据按解释变量的值从小到大排序，Glejser 检验通常要试拟合多个回归式） 。White 检验不需 要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归
7、式构造 2 统计量进行异方差检验。White 检验的具体步骤如下。以二元回归模型为例：yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut (5.9)首先对上式进行 OLS 回归，求残差。tu 做如下辅助回归式，= 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt (5.10)2tu即用对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行 OLS 回归。注意，2tu上式中要保留常数项。求辅助回归式(5.10)的可决系数 R2。White 检验的零假设和备择假设是4H0: (5.9)式中的 ut不存在异方差，H1: (5.9)式中的 ut存在异
8、方差在不存在异方差假设条件下统计量T R 2 2(5) (5.11)其中 T 表示样本容量，R2是辅助回归式(5.10)的 OLS 估计式的可决系数。自由度 5 表示辅 助回归式(5.10)中解释变量项数（注意，不计算常数项） 。T R 2属于 LM 统计量。 判别规则是若 T R 2 2 (5), 接受 H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 2 (5), 拒绝 H0 （ut 具有异方差）(2) Goldfeld-Quandt 检验H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。构造 F 统计量。 把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观测值按 解释变量的大小顺序排列
9、，略去 m 个处于中心位置的观测值（通常 T 30 时，取 m T / 4，余下的 T- m 个观测值自然分成容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。 ）x1, x2, , xi-1, xi, xi+1, , x T-1, xT n1 = (T-m) / 2 m = T / 4 n2 = (T-m) / 2 用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。相对于 n2 和 n1 分别用 SSE2 和 SSE1表式。 F 统计量是F = = ， （k 为模型中被估参数个数）)/()/(1122 knSSEknSSE 12 SSESSE在 H0成立条件下，F F( n2 - k, n1 -
10、k) 判别规则如下，若 F F (n2 - k, n1 - k) , 接受 H0 （ut 具有同方差）若 F F (n2 - k, n1 - k) , 拒绝 H0 （递增型异方差）注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 此法只适用于递增型异方差。 对于截面样本，计算 F 统计量之前，必须先把数据按解释变量的值从小到大排序。（3）Glejser 检验检验 是否与解释变量 xt存在函数关系。若有，则说明存在异方差；若无，则说tu 明不存在异方差。通常应检验的几种形式是 = a0 + a1 xttu = a0 + a1 xt2tu 5 = a0 + a1, .tu t
11、xGlejser 检验的特点是： 既可检验递增型异方差，也可检验递减型异方差。 一旦发现异方差，同时也就发现了异方差的具体表现形式。 计算量相对较大。 当原模型含有多个解释变量值时，可以把 拟合成多变量回归形式。tu (4) 自回归条件异方差（ARCH）检验异方差的另一种检验方法称作自回归条件异方差 (ARCH) 检验。这种检验方法不是把 原回归模型的随机误差项t 2 看作是 xt 的函数，而是把t 2 看作误差滞后项 ut-12 , ut-22 , 的函数。ARCH 是误差项二阶矩的自回归过程。恩格尔（Engle 1982）针对 ARCH 过程提 出 LM 检验法。辅助回归式定义为= 0 +
12、 1 + + n (5.12)2tu2 1tu2ntu LM 统计量定义为ARCH = T R 2 2(n) 其中 R 2是辅助回归式（5.12）的可决系数。在 H0：1 = = n = 0 成立条件下，ARCH 渐近服从 2(n) 分布。ARCH 检验的最常用形式是一阶自回归模型（n = 1） ，= 0 + 1 2tu2 1tu在这种情形下，ARCH 渐近服从 2(1) 分布。1.5.5. 克服异方差的方法 克服异方差的矩阵描述。设模型为Y = X + u 其中 E(u) = 0，Var(u) = E(u u) = 2 。 已知， 与 k 未知。因为 I，违反了假定条 件，所以应该对模型进行
13、适当修正。因为 是一个 T 阶正定矩阵，所以必存在一个非退化 TT 阶矩阵 M 使下式成立。M M = I TT 从上式得M M = -1 用 M 左乘上述回归模型两侧得M Y = M X + M u取 Y* = M Y, X * = M X, u* = M u , 上式变换为Y* = X* + u* 则 u* 的方差协方差矩阵为Var(u*) = E(u* u* ) = E (M u u M ) = M 2 M = 2 M M = 2 I变换后模型的 Var(u*)是一个纯量对角矩阵。对变换后模型进行 OLS 估计，得到的是 的最佳线性无偏估计量。这种估计方法称作广义最小二乘法。 的广义最小
14、二乘 (GLS) 估计量定义为6(GLS) = (X* X*)-1 X* Y* = (X M M X ) -1 X M M Y = (X -1X) -1 X -1Y （1）对模型yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut (5.15)假定异方差形式是 Var(ut) = ( xt1)2。 （因为 Var(ut) = E(ut)2，相当于认为 = xt）用 xt1tu 同除上式两侧得yt / xt1 = / xt1 + 2 xt2 / xt1 + ut / xt1 , (5.16)01因为 Var(ut / xt1) = (1/ xt12 ) Var(ut) = (1/ xt12 ) 2 xt12 = 2， (5.16) 式中的随机项 (ut / xt) 是 同方差的。对 (5.16) 式做 OL
