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1、1三次函数专题三次函数专题一、定义：一、定义：定义定义 1、形如的函数，称为“三次函数” （从函数解析式的结构上命名） 。32(0)yaxbxcxd a定义定义 2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别232(0)yaxbxc a 2412bac 式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题， 已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究：二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当032 acb)0(23adcxbxaxyR时，三次函数在上有三个单调区间。032 acb)0(2
2、3adcxbxaxyR（根据两种不同情况进行分类讨论）0, 0aa2、对称中心。三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点)0()(23adcxbxaxxf)3(,3(abfab的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，yf(x)图象的对称中心在导函数 y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也 是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题。（1）当=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个01242acb0)( xf2实根。（2）当=时，
3、由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，01242acb0)( xf21,xx21xx 为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调)(,(11xfx)(,(22xfx)(xfy ),(1x),(2x递增，在上单调递减。21,xx此时：若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，0)()(21xfxf)(xfy xx所以原方程有且只有一个实根。0 若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，0)()(21xfxf)(xfy xx所以原方程有三个不等实根。 若，即与中有且只有一个值为 0，所以，原方程有三个实根，其中两0)()(21xfxf)(1xf)(2xf
4、个相等。4、极值点问题。 若函数 f(x)在点 x0的附近恒有 f(x0)f(x) (或 f(x0)f(x)，则称函数 f(x)在点 x0 处取得极大值（或极小值） ，称点 x0为极大值点（或极小值点） 。当时，三次函数在上的极值点要么有两个。0 yf x, 当时，三次函数在上不存在极值点。0 yf x, 5、最值问题。函数若，且，则：； max0,fxf mf xf n。三、例题讲解：例 1、 （函数的单调区间、极值及函数与方程的） （全国卷文 21）已知函数 f（x）=x3-3ax2+3x+1。（）设 a=2，求 f（x）的单调期间； （）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求
5、 a 的取值范围。例 2、已知函数满足（其中为在点处的导数，)(xfCxxfxxf 23 32)( 32 f)(xf32x为常数） C（1）求函数的单调区间；)(xf（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；0)(xfC3（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与 轴围成的封闭图形的面031 f)(xfx积例 3、 （恒成立问题）已知函数3211( )32f xxxcxd有极值（）求c的取值范围；（）若( )f x在2x 处取得极值，且当0x 时，21( )26f xdd恒成立，求d的取值范围例 4、 （信息迁移题）对于三次函数32( )(0)f xaxbxcxd a。定义：（1）( )f
6、 x的导数( )fx（也叫( )f x一阶导数）的导数( )fx为( )f x的二阶导数，若方程( )0fx有实数解0x，则称点00(,()xf x为函数( )yf x的“拐点” ；定义：（2）设0x为常数，若定义在R上的函数( )yf x对于定义域内的一切实数x，都有000()()2 ()f xxf xxf x恒成立，则函数( )yf x的图象关于点00(,()xf x对称。（1）己知32( )322f xxxx， 求函数( )f x的“拐点”A的坐标；（2）检验（1）中的函数( )f x的图象是否关于“拐点”A对称;（3）对于任意的三次函数32( )(0)f xaxbxcxd a写出一个有
7、关“拐点”的结论（不必证明） 。例 5、 （与线性规划的交汇问题）设函数, 其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取值范围.4三次函数作业三次函数作业1、设是函数 f(x)的导函数，的图象如图所示，则 yf(x)的图象最有可能是（）2、函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（）A. 1，1 B. 1，17C. 3，17 D. 9，193、 （江西卷文 17）设函数32( )63(2)2f xxaxax.（1）若( )f x的两个极值点为12,x x，且121x x ，求实数a的值；（2）是否存在实数a，使得( )f x是(,) 上的
8、单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由. 考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数32( )(0)3af xxbxcxd af ，且方程( )90fxx的两个根分别为 1，4。（）当 a=3 且曲线( )yf x过原点时，求( )f x的解析式；（）若( )f x在(,) 无极值点，求 a 的取值范围。5、（天津卷文 20）已知函数 f（x）=3231()2axxxR ，其中 a0. （）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程；（）若在区间1 1,2 2上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围.56、（重庆卷文 19）已知函数32( )f x
9、axxbx（其中常数 a，bR） ，( )( )( )g xf xfx是奇函数.（）求( )f x的表达式；（）讨论( )g x的单调性，并求( )g x在区间1,2上的最大值与最小值.7、已知在函数的图象上以 N（1，n）为切点的切线的倾斜角为xmxxf3)(,4（1）求 m、n 的值；（2）是否存在最小的正整数 k，使不等式对于恒成立？求出最1992)( kxf3 , 1x小的正整数 k，若不存在说明理由；（3）求证：).0,)(21(2| )(cos)(sin|tRxttfxfxf8、 （2010 浙江文数）浙江文数） （本题满分 15 分）已知函数（a-b）0 等价于5a10,()0,
10、82 15a( )0,0.28ff即，解不等式组得-52，则110a2 .当 x 变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X102，01 a0，1 a1 1 a 2，f(x)+0-0+f(x)Z极大值极小值Z当1 1x2 2 ， 时，f（x）0 等价于1f(-)2 1f()0,a 0,即25 8 11-0.2aa 0,，解不等式组得252a 或2 2a .因此 2a5.综合（1）和（2） ，可知 a 的取值范围为 0a5. 6、127、解：（1），13)(2 mxxf.31,32, 14tan) 1 (nmf（2）令，22, 0)22)(22(2)(xxxxf则在1，3中，在此区间为增函数
11、时，)(, 0)(,22, 1xfxfx时22,22x在此区间为减函数.)(, 0)(xfxf处取得极大值.xxf在)(22，3时在此区间为增函数，在 x=3 处取得极大值.8 分x22)(, 0)(xfxf)(xf比较（）和的大小得：f22)3(f15)3()(max fxf（无理由最大，扣 3 分）)3(f即存在 k=2007,2007,1992)(kkxf（3）| )cos(sin)cos(sin32| )(cos)(sin|33xxxxxfxf13322)4(sin|322|cossin|3133xxx而322)31 32(2231)41(32)21(2)21(222ttttttf（也可由单调性：322)2(2)21(2fttf)21(2| )(cos)(sin|ttfxfxf8、9、1515
