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1、第六章 微分中值定理及其应用1 拉格朗日中值定理和函数的单调性例 1 设函数内可导，在a,b上连续，且导函数严格递增，若),()(baxf在)(xf 证明，对一切均有)()(bfaf),(bax)()()(bfafxf证人 用反证法，若在区间上分别应用)()()(),(00bfafxfbax,00bxxa拉格朗日中值定理，使得bxxa200121,0)()()(, 0)()()(00 2 00 1xbxfbffaxafxff这与为严格递增相矛盾。)(xf 例 2 设函数在内可导，并且，试证：若当时，有)(xf,a0)(af),( ax则存在唯一的使得，又若把条件减弱为0)(cxf),( a0)
2、(fcxf)(，所述结论是否成立？)(0)(xaxf分析 因为，若可以找到某点，使得则由的严格递增性，0)(afax0)(xf)(xf并应用连续函数的介值定理便可证明存在唯一的，使得0)(f证 在上应用拉格朗日中值定理，使得ax,xaxa,)()()(axfafxf于是)()()()()(axcafaxfafxf由于，因此当 x 充分大时总可使得0 c不妨设，所以上严格递增；在上应用连续函数0)(,11cxfax,)(axf在,1xa0)()()(axcafxf的介值定理，则,且是唯一的。1,xa假设满足，结论可能不成立，例如函数)(xf0)( xf，, 0,2arctan)(xxxf满足，但
3、因恒小于 0，故在中不存在02)0(f011)(2xxf)(xf), 0( ，使得=0)(f例 3下面是对函数应用值中值定理的实例，因为函数)(tfxtttt tf 001sin02)(在上满足拉朗日中值定理的条件，于是它存在。使得, 0xx0 ,1cos1sin2)(1sin0)0()(fxxxfxf在上式中令，由0,0有x01sin2, 01sinlim 0lim 0与xxx可知因而，这看起来似乎与不存在相矛盾，01coslim 0x01coslim 001coslim 0x试分析其原因。解首先应当注意：上面应用拉格朗日中值定理中的是个中值点，是由函数 f 和区间0,x的端点而定的，具体说
4、是与 x 有关。上面的推理过程到为止都是正确。当由此得到时，必须01coslim 0x01coslim 0把看作是由 x 而确定的中值点才是正确的；但若把作为连续趋于零的变量得到，那是错误的。01coslim 0x例 4 证明是 x 的严格递增函数，而是 x 严格递减函数。2)11 (x1)1(x xx证 设则有)11 ()11 ()(xxilxinxfxxxxxxf11)1( )11ln()(2 xxxxxf11)1( )11ln()(2 =xx11)11ln(=xxx11ln)1ln(=，) 10(111xx其中最后等式是对函数 ln y 在区间上应用了拉格朗日中值定理，由此得到 1,xx
5、011 11)(xxxf于是在 R 上严格递增，这样也是 x 严格递增函数，同理可证)(xf)()11 (xfxex是 x 的严格递减函数。1)11 (x x例 5 设定义在上，而且 n 阶可导。证明：若)(xF,a，则，),(, 0)(, 0)()()()()1(axxFaFaFaFnnL),(, 0)(axxF分析 当 n=1 时，需证，若由解释解惑问题 1 中严格单调性,)(, 0)(axFaF在判别法可知上述结论是对立的。对一般的 n，可以从与),(, 0)()(axxFn，利用拉格朗日中值定理证得，以此类推可以证0)()1(aFn0)()1(xFn),( ax得结论，下面例 6 就是
6、它的应用。证 ，在应用拉格朗日中值定理，使),(ax)(,)1(tFxan上对)(xann得0)()()()()1()1(axFaFxFnnnn因为所以，继续上述证明步聚 n-2 次，可得0)()1(aFnax0)1(nF，最后对上应用拉格朗日中值定理，有),(, 0)(axxF,)(xaxF在，xaaxFaFxFxF11),)()()()(于是证得),(, 0)(axxF例 6证明不等式例 7)0(212 xxxex证证法一设0,1)(2 xxxxexFxxexFx1)(1)( xexF0)( xexF且0)0()0()0( FFF由范例 5 可知，即)0(0)(xxF)0(212 xxxe
7、x证法二由本节例 5（教材上册第 124 页）可知)0(1xxex设，0)0(, 0,21)(2 FxxxexFx有01)(xexFx所以 F（x）严格递增，于是0, 0)0()(xFxF即)0(212 xxxex注 应用类似方法可证)0(212 xxxex请读者补写证明，本题是利用函数的单调性证明不等式的典型例子。 例 7 试利用导数极限定理证明：导函数不能具有第一类间断点分析 如果导函数具有第一类间断点，则与都存在，由于函0x)(lim0xfxx)(lim0xfxx数 f（x）在点处连续，由单侧导数极限定理，有0x因此，不难推出点为的可去间断点)()(),()(0lim 0lim00xfx
8、fxfxfxxxx0x)(xf 和跳跃间断点都是不可能的。证 首先用反证法证明导函数不能有可去间断点，若点为的可去间断点，)(xf 0x)(xf 则存在；而在点连续，故由导数极限定理，有)(lim0xfxx)(xf0x)()(0lim0xfxfxx这与点为的可去间断点相矛盾。0x)(xf 再用反证法证明不能具有跳跃间断点。若有跳跃间断点，则存在左、)(xf )(xf 0x右邻域在这两个邻域上连续，且存在，于是)(),(),(00_xfxUxU)()(limlim00xfxfxxxx和上满足单侧导数极限定理的条件，即有)()()(00xUxUxf和在)0()(),0()(0000xfxfxfxf
9、由于，因此，这与在点处可)0()0(00xfxf)()(00xfxf)(xf0x导矛盾，综上证得导函数不能有第一类间断点。 例 8 设 n 为正整数nnxxxf) 1() 1()(证明方程在（-1，1）中恰好 n 个相异实根。0)()(xfn分析 罗尔中值定理的重要应用是：当为可导函数时，可以利用方程)(xf的根本情况讨论方程的根的分布。若，是方程的根，0)(xf0)( xf21,0)(xf即，由罗尔定理，即在的两个根之0)()(21ff0)(,21f0)(xf间必存在的一个根，由于方程有两个 n 重根，因此，可0)( xf0) 1() 1(nnxx1以逐次应用罗尔定理证得结论。证 因为为方程
10、的 n 重根，于是该方程有 2n 个实根，现要证明10)(xf有 n 个相异的实根。0)()(xfn11) 1() 1() 1() 1()(nnnnxxnxxnxf=11) 1() 1(2nnxxnx方程以 x=0 为单根，重根，因为0)( xf) 1(1nx为，由罗尔定理，使得0) 1() 1 ()0(fff101,)2( 2)2( 1)2( 2)2( 1于是有两个单根；又因0)()2( 2)2( 2 ff0)( xf22 2) 1() 1)()( nnxxxpxf其中为二次多项式，故方程还有两个 n-2 重根。)(2xp0)( xf1由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降
11、一次，现用归纳1 法证明相应结论。若有 k 个不同单根nkxfk1 , 0)()(重根为其)(1,)()( 2)( 1knk kkkLknkn kkxxxpxf) 1() 1)()()(由罗尔中值定理，11)1()1() 1(0)(kik ikkxf个单根有，11)1( 1)()1( 2)( 1)1( 1 k kk kkkkL)1()1( 1)1() 1() 1)()( knkn kkxxxpxf其中次多项式，即有两个重根，当 k=n-1 时，) 1()(1kxPk为)()1(xfk) 1( kn1正好有 n 个相异实根。0)()(xfn2 柯西中值定理和不定式极限例 1 设函数上连续，且在（
12、a,b）内可导，则在（a,b）内存在点,)()(baxgxf在和，使得fagbggafbf)()()()()(分析 本命题比柯西中值定理少了不同时为零以及两个条)()(xgxf和)()(bgag件，而结论是以乘积形式出现的，因而应当变换辅助函数。),()()()()()()(afbfxgagbgxfxF然后应用罗尔中值定理 证 作辅助函数),()()()()()()(afbfxgagbgxfxF满足，)()()()()()()()()(afagbfagagafbgafaF)()()()(bfagbgaf)()()()()()()()()(afbgbfbgagbfbgbfbF)()()()(bf
13、agbgaf即 F（a）=F(b)；F（x）在a,b 上连续，在（a,b）内可导，由罗尔中值定理，即0)(),(Fba使得0)()()()()()(afbfgagbgF注 又若不同时为零，则（不然将导致)(),(xgxf0)()(agbg0)(g） ，于是得出0)(f)()()()( )()( agbgafbf gf 此即为柯西中值定理，这说明以前所设辅助函数不是唯一的。例 2 设上连续，在（a,b） ，使得)0(,)(abbaxf在2)()()(fabf分析 这类命题是要证明存在两个中值点，使得，),(ba2)()()(fabf不妨先找出,)()( 2)(22abafbff 然后此式改写为abafbffab )()( 2)()( 再由拉格朗日中值定理，使得),(ba)()()(fabafbf于是使得),(,ba)2)(2)(f bafbf例 3 设函数上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在使得,)(baxf在),(ba)(4)()()2(2)(2 fabafbafbf 分析 本题可以利用柯西中值定理证明，设两个函数 F，G 为4)()(),()2(2)()(2axxGafaxfxfxF有然后在a,b上对 F,G 应用柯西中值定理，本题也可用拉格朗日中0)()(aGaF值定理证明，下面分别给出两种证法。 证证法一设,4)()(),()2(2)
