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1、浅 谈 数 学 中 的 美 摘 要：数学本身具有许多美的特性，它们是形象、生动而具体的，数学中的符号美、统一 美、和谐美和奇异美均展现着数学自身的美。把数学特别是现代数学中美的现象展示出来 ，再从美学的角度再认识 ，这不仅是对人们观念的一种启迪 ，同时可帮助人们去思维 ， 去探索 ，去研究 ，去发掘。 关键词：数学美；简洁性；和谐性；奇异性 “那里有数学，哪里就有美” ，这是古代哲学家对数学美的一个高度评价.确实，数学中美 学因素极为，它所表现出来的简洁性、对称性、和谐性 、统一性、整体性、奇异性等是客 观世界中美的特征数学教师应在教学中充分利用这些美学因素，以提高学生的学习兴趣 和审美能力在
2、解答较为复杂的数学问题中，转化是常用的一种数学思想，笔者在多年的 教学实践中发现在解数学题当中有许多美好的转化这些转化美在很多表面看似繁杂、怪 异的问题变成了简单形象经过转化，问题的条件和结论在新的协调的形式下变得互相沟 通、环环相扣，极为和谐，从而使解法简洁有效以下是笔者在教学中常用的几种美好的 转化. 一、符号美 符 号就是菜种事物 的代号 ，人们总是探索 用简单 的记号 去表现复杂 的事物 ，符号 也 正是这样产生的。符号对于数学的发展来讲 ，更是极为重要的，它可使人摆脱数学自 身的抽象与约束，集中精力于主要环节。这在事实上增加了人们的思维能力。没有符号去 表亍牧及其运算 、数学的发展是
3、不可想象 的。 数是科学的语言，符号是记录、表达这些 语言的文字。正如没有文字 ，语言电难以发展一样。几乎每个数学分支都是靠一种符号语 言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。数学符号的产生 、发 明 、使用 的流传 经历 了一个十分漫长的过程，这个过程中始终贯穿着自然、和谐与美。早在 400o 多年前 ，埃及人已懂得了数学 ，在数的计算 方面还会使用分数，他们还能计算直线形和圆形的 面积 ， 他 们知道 了圆周率约为 314，同时也掌握 了棱 台和球 的 体积计算，并用 符号来表示数、分数及面积体积公式。 数及其运算只有用符号表示，才能更加确切和明了。圆周率是一个常数1737 年欧拉首先倡
4、导用希文 叮 T 来表 示它，且通用于全世界。虚 数单位 一 1 用符号 i 表示，还 是欧拉于 1777 年首创的。(比如阶乘“!”符号，n!=rl(ii 1) ? 1 这 种 符 号 进 一 步 使 用 和 推 广 便 是 “n”：n 口 i=口。口：?口 ， 与之相应的还有求和符号 ； = l “n”：兀i=口。+口 2+?+ i = ： 有趣的是求和概念的 推广函数求积中积分的符 号“”似乎是“ ”号的拉伸。 若说“+、一、 、?”等在数学上不过是一个符号， 那么行列式和矩阵记号的出现 ，则是数学语言 上的大胆创 新，它的绝妙之处已为它在现代数学发展中的作用所显 示。行列式和矩阵简 洁
5、、整齐，便于记忆，这些特点往往使 某些数学方程变得更加漂亮。 从上面例子可以看 到，数学符号的重要在于它有无限 的力量来协助直觉，把社会和自然宇宙中的数学关系 联系起来，去解答一些问题，去创新的思维形式。如今我们简直难以想象，如果没有现今 的数学符号，数学乃至整个科学的面貌将会是怎样! 二、统一美 统一也是数学内含的一个特征，人们一直在探索它 ， 并试图找到统一它们的方法。 笛卡 尔通过解析几何把几何学、代数学、逻辑学统一 起来了；高斯从曲率的观点把欧几里得几 何、罗巴契夫斯基几何和黎曼几何统一起来了；克莱因用变换群的观点统一了 19 世纪发 起来的各种几何学；拓扑学在分析学、代数学、几何学中
6、的渗透，特别是在微分几何种种 空间，产生了所谓拓扑空间的统一流形?统一是数学家们永远追求的目之一。 提起不等式 ，我们会想到很多很多：平均值不等式、柯西不等式、三角不等式、幂平均不等式?其实 它们也都有着深刻的联系，且都可统一在一个更强的、结论更普遍的不等 式琴森不等式 中。 立体几何中要计算几何体积，对于柱、锥、台体及球 、L 球缺、球台的体积 ， 均可由拟柱体体积公式、一 11(s +U S +4So)得出。 对于三角形中的中线、内外角平分线 、高线它们各有自己的性质，但借助于斯蒂瓦特定理可将计算它们长度的公式统一起来。由此可以看出统一不仅是数学美的重要特征同时它也是数学本质 的一种反映
7、三、和谐美 数学严谨 自然流露出它的和谐。数学的和谐不仅仅表 现在其严谨 或形式结构的无矛盾性 ，还表现在=篦 为 自然 界的和谐 、生命现象 的和谐 、人 自身的 和谐等我到最佳论 证 。 人们很久以前就注意到了蜂房的构造：乍看上去是一 些正六边形的筒 ，然而每个 筒底是由三块同样太小的菱形 所拼成。18 世纪初，法国的学者马拉尔弟测量了蜂房底面 三块菱形的角度：钝角 d：10928 ，锐角 B=70032 。法国 一位物理学家由此猜测到： 蜂旁的如此结构是建造同样大的容积所用材料最省的，并且结果与观察值丝毫不差。这也 是使世界上最优秀的建筑师称赞不已的造型与建筑。 数学不仅能验证 自然的和
8、谐，还能 理解它甚至能为人类所利用。比如可力控制“生态”和谐提出最佳对策与方案，依据人 口增减过程建立人口增长的数模型，用数学精 确计算人的“生物钟” ，从而告诫人们要保 持生态平衡、控 制人类的繁衍、科学合理地安排工作、学习和生活，这使数 学与人类生存的和谐紧密地联系在一起了。 数学的和谐还在于它能描述自然 很久以前数 学家们 已经注意到某些植物的叶、花、形状与一些封闭曲线非常 相似。法国数学家笛卡 尔得到了富有诗意和数学感的“茉莉花瓣”笛卡尔曲线 (其方程为 x3+y3=3a_xy)；酸 模、 睡莲、三叶草、常春藤等植物叶子的数学方程式对应的曲 线将这些花形表现得惟妙 惟肖。蚂蚁以均匀的速
9、度，在一 个匀速旋转(转速极慢)的唱片中心沿半径向外爬行 结 果蚂蚁本身就描绘出一 条螺线。 五、奇异美 某些数学问题用常规的定势思维往往冥思苦想不得其解，但是，若能灵活变换已知模式， 以变破定顺逆联变，反证逆解等逆向思维，则能创造出意想不到的奇异效果，问题也因此 得解，这样的变换体现了数学的奇异美 Lizi 解数学题往往是许多学生觉得既乏味又艰难的一件事情作为数学教师，应以提高学生学 习数学的积极性为己任，精心设计与刻意挖掘教材中丰富的美学因素和素材，并经常应用 于教学当中，使学生在欣赏美的同时，也调动了他们学习数学的积极性和主动性从而达 到开拓学生思路，发展学生创造性思维的目的在提高学生理
10、解能力和速度的同时，更能 培养学生的审美能力，这对强化学生的素质教育无疑是很有意义的 二、对称美 对称是一种美的形态也反映了一种美 的内涵，挖掘数学的对称规律进行相应的转化，可将 某些看似残缺不全的问题得到圆满解决【例 3】 求图中阴影部 分的面积 s，其中曲线为 y=cos (x)，xE0， 解析：图中阴影部分是一个无初等求积公式的图形，直接求积不容易，但注意到余弦函数 图象是一个对称图形 ，若将其补全成一个长为 2，宽为 2 的矩形， 5 命名美 任何学科中的概念是基础，是重点，是关键 ，也是难点。 理解掌握数学概念是学好数学 的前提。数学概念的命名恰好命中概念之精华，概念之关键。能体会感
11、受到命名美就能学 好数学，喜欢数学，应用数学，实现理想。 感受吧!比如：四种命题、充分条件、必要条 件、充要条件、等差数列 、等比数列、必然事件 、不可能事件、随机事件、互斥事件 、 相互独立事件 、等可能性事件 、直线的点斜式、两点式、斜截式、三垂线定理、指数函数、对数函数渐近线、排列 、组合 、二项式定理、?几个字就能准确地命中概念之本质 特征。很美吧! 应用美 数学的产生与发展都有是实践的需要。数学应用题目的实际背景涉及到现实生活中的方方 面面，除涉及传统的行程、工作、计数等典型问题外，还涉及到生产建设中的投资效益问 题，信贷利息和纳税及分期付款 ，绿化和美化环境的规划，绿色食品，手机消费，用电问 题 ，火箭发射等等； 比如，如右图要在边长为 1 6m 的正方形草坪上安装喷水龙头 ，使 整个草坪都能喷洒到水。假设每个喷水龙头的喷水范围都是半径为 6m 的圆面，则需安装 这种喷水龙头的个数最少是几个? 再比如：神州七号发射成功之美。 总之，数学中、工作中、生活中，美无处不在。尽可能 尽善尽美吧!
