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1、平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相 似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的 证明方法需要平行线与线段成比例的证明）定义判定定义判定对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么 这两个三角形相似（AA） 判定定理 2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那 么这两个三角形相似（SAS） 判定定理 3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似 （SSS）判定定理 4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。 判定定理 5：两
2、个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相 似。 其他判定：由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc判定定理基本判定判定定理基本判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相 等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角 形相似。) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。) (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这 两个三角形相似。
3、 直角三角形判定 (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。一定相似一定相似1.两个全等的三角形 全等三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为是特殊的相似三角形，相似比为 1 1：1 1 2.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形 两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角 形相似。 3.两个等边三角形 (两个等边三角形，三个内角都是 60 度，且边边相等，所以相似)4.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形由于斜边的高形成两
4、个直角，再加上一个公共的角，所以相似。2 2 性质定理性质定理编辑编辑(1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似 比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。3 3 定理推论定理推论编辑编辑推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的
5、对应部 分成比例，那么这两个三角形相似。 推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分 成比例，那么这两个三角形相似。 性质性质 1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。 2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、 内切圆半径等）的比等于相似比。 3.相似三角形周长的比等于相似比。 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接 圆面积比是相似比的平方 6.若 a/b =b/c，即 b=ac，b 叫做 a,c 的比例中项 7.c/d=a/b 等同于 ad=bc. 8.不必
6、是在同一平面内的三角形里 （1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比4 4 射影定理射影定理编辑编辑射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）俗称母子三角形：直角三角形中，斜 边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在 斜边上的射影和斜边的比例中项。 例如：(前提：BAD+DAC=90 度，ADBC) 公式 RtABC 中，BAC=90，AD 是斜边 BC 上的高，则有射影定理如下：(1) (AD)2;=BDDC，(2)(AB)2;=BDBC，(3)(AC)2;=CDBC。等积式 (4) ABXAC=BCXAD(可用面积来证明) 一.平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行相交 的)直线上截得的线段也相等 .二.平行截割定理 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 三.平行截割定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比 例.
