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1、2.4 第第 1 课时课时一、选择题1(2010重庆理，2)已知向量 a，b 满足 ab，|a|1，|b|2，则|2ab|( )A0 B22C4D8答案 B解析 |2ab|24a24abb28，|2ab|2.22已知 a、b 是非零向量，且(a2b)a，(b2a)b，则 a 与b 的夹角是( )A.B. 6 3C.D.2 35 6答案 B解析 由(a2b)a0 及(b2a)b0 得，a2b22|a|b|cos，cos ， .1 2 3点评 数量积运算满足多项式乘法法则及以下乘法公式(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2，a2b2(ab)(ab)，|a|2a2aa.3如右图，已知正六
2、边形 P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )A.P1P2P1P3B.P1P2P1P4C.P1P2P1P5D.P1P2P1P6答案 A分析 先搞清所涉及的两个向量的夹角，再用数量积的概念进行计算，最后比较大小解析 设正六边形的边长是 1，则1cos30P1P2P1P33 ；12cos601；1cos900；3 2P1P2P1P4P1P2P1P5311cos120 .P1P2P1P61 24(2010湖南理，4)在 RtABC 中，C90，AC4，则等于( )ABACA16B8C8D16答案 D解析 因为C90，所以0，所ACCB以()|2AC216.ABACACCBACACA
3、CCB5P 是ABC 所在平面上一点，若，PAPBPBPCPCPA则 P 是ABC 的( )A外心B内心C重心D垂心答案 D解析 由得()0，PAPBPBPCPBPAPC即0，PBCA.PBCA同理 PABC，PCAB，P 为ABC 的垂心6已知ABC 中，若，则AB2ABACBABCCACBABC 是( )A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形答案 C解析 由，AB2ABACBABCCACB得()()，ABABACBCBACA即，0，ABCBBCBCABBCBCBC()0，则0，即，BCABBCBCACBCAC所以ABC 是直角三角形，故选 C.7若 O 为ABC 所在平面内一
4、点，且满足()(2)0，则ABC 的形状为( )OBOCOBOCOAA正三角形B直角三角形C等腰三角形 DA、B、C 均不是答案 C解析 由()(2)0，得OBOCOBOCOA()0，又，()()CBABACCBABACABACABAC0，即|2|20.ABAC|.ABC 为等腰三角形ABAC点评 若设 BC 中点为 D，则有2，ABACAD故由()0 得0，CBABACCBADCBAD，ACBC.8(09陕西文)在ABC 中，M 是 BC 的中点，AM1，点 P在 AM 上且满足，则()等于( )AP1 2PMPAPBPCAB4 94 3C.D.4 34 9答案 A解析 如图，| | ，()
5、AP1 2PMAP1 3AM1 3PAPBPC()PAPAABPAAC(22)PAPAAM222PAPAAM2 2 cos1801 91 3 ，故选 A.4 99已知向量 a、b 满足|a|1，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角为( )A.B. 6 4C.D. 3 2答案 C解析 根据向量数量积的意义，ab|a|b|cos4cos2 及0，可得 ，选 C. 310若|a|2，|b|，a 与 b 的夹角为 45，要使 kba 与 a 垂2直，则 k( )A2B2C.D22答案 D解析 若 kba 与 a 垂直，则(kba)a0，即 kab|a|20，k|a|b|cos45|a|20，解
6、得 k2.二、填空题11若非零向量 ， 满足|，则 ， 的夹角为_答案 90解析 |，()2()2，即 222222，0， 的夹角为 90.12已知平面上三点 A、B、C，满足|3，|4，|5，则的值等于ABBCCAABBCBCCACAAB_答案 25解析 由条件知ABC90，原式045cos(180C)53cos(180A)20cosC15cosA20 15 16925.4 53 5点评 注意与的夹角不是角 B，应是 B.ABBC13(08北京)已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|b|4，那么 b(2ab)的值为_答案 0解析 ab|a|b|cosa，b44cos1208，b(2
7、ab)2abb20.14(09天津文)若等边ABC 的边长为 2，平面内一点 M 满3足 C C C，则 MM_.M1 6B2 3AAB答案 2解析 C C C，M1 6B2 3AMCC C C，AAM1 3A1 6BMCC C C.BBM5 6B2 3AMM C2C2CCAB2 9A5 36B7 18AB 121212 2.2 95 367 181 2三、解答题15已知|a|，|b|3，a 与 b 夹角为 45，求使 ab 与2ab 的夹角为钝角时， 的取值范围解析 由条件知，cos45，ab3，ab |a|b|设 ab 与 ab 的夹角为 ，则 为钝角，cos0，(ab)(ab) |ab|
8、ab|(ab)(ab)0.a2b2(12)ab0，293(12)0，321130，.11 85611 856若 180时，ab 与 ab 共线且方向相反，存在 k0，使 abk(ab)，a，b 不共线，Error!，k1，且 1.11 85611 856点评 本题易忽视 180时，也有 ab0，忘掉考虑夹角不是钝角而致误*16.已知 a，b 是两个非零向量，证明：当 b 与 ab(R)垂直时，ab 的模取到最小值解析 当 b 与 ab(R)垂直时，b(ab)0，.ab b2|ab|22b22aba2b2(22abb2a2b2)b22a22.(ab b2)(ab b2)当 时，|ab|取得最小值
9、即当 b 与 ab(R)垂直ab b2时，ab 的模取到最小值点评 本题是将向量、函数的知识有机地结合起来，考查了向量与函数知识的综合应用要注意 ab 的模是一个关于 的二次函数*17.已知 a，b 均是非零向量，设 a 与 b 的夹角为 ，是否存在，使|ab|ab|成立，若存在，求出 的值；若不存在，请说3明理由解析 假设满足条件的 存在，由|ab|ab|，得(ab)323(ab)2.|a|22ab|b|23(|a|22ab|b|2)，即|a|24ab|b|20，|a|24|a|b|cos|b|20，由 0，得(4cos)240，解得 cos 或 cos ，1 21 2又 cos1,1，1cos 或 cos1，1 21 20，0， 3 2 3，故当 时，能使|ab|ab|成立0， 3 2 3，3
