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1、高二数学选修 4-1 五五 和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段班级 姓名 学号 教学目标：教学目标：1理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和 证明； 2掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形 归纳出几何性质的能力 3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点 教学重点：教学重点：正确理解相交弦定理及其推论切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到 的重要定理 教学难点：教学难点： 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系 教学教学活动活动：一复习导入：一复习导入：1证明：已知：弦 AB 和 C
2、D 交于O 内一点 P 求证：PAPBPCPD相交弦定理：相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等2从一般到特殊，发现结论对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直 思考：（1）若 AB 是直径，并且 ABCD 于 P根据相交弦定理，能得到什么结论? 推论：推论： 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项（2） 若再连结 AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：PC2PAPB ；AC2A
3、PAB；CB2BPAB二范例讲解一二范例讲解一例 1： 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为 12 厘米和 16 厘米两段，第二条弦的长为32 厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长根据题意列出方程并求出相应的解例 2 ： 已知：线段 a，b 求作：线段 c，使 c2ab来源：高考%资源网 KS%5U 分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可作出以线段 a 十 b 为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段作法：口述作法三课堂练习一三课堂练习一 练习 1： 如图，AP2 厘米，PB25 厘米，CP1 厘米，求 CD（变式练习：若 AP2 厘米，PB25 厘米，CP，DP 的长
4、度皆为整数那么 CD 的长度是多少?）练习 2： 如图，CD 是O 的直径，ABCD，垂足为 P，AP4 厘米，PD2 厘米求 PO 的长练习 3 ： 如图：在O 中，P 是弦 AB 上一点，OPPC，PC 交O 于 C 求证：PC2PAPB 分析：由 APPB，联想到相交弦定理，想到延长 CP 交O 于 D，于是有PCPDPAPB又根据条件 OPPC易 证得 PCPD 问题得证探究：探究：1、相交弦定理是两弦相交于圆内一点如果两弦延长交于圆外一点 P，那么该点到割线与圆交点的四条线段 PA，PB，PC，PD 的长之间有什么关系？2、当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点时，猜想：由
5、圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长 PA，PB，PT 之间又有什么关系？3、用语言表达上述结论切割线定理切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项比例中项推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（也叫做割线定理）等（也叫做割线定理）四范例讲解二四范例讲解二来源：高考%资源网 KS%5U 例 1 ： 已知：O 的割线 PAB 交O 于点 A 和 B，PA
6、=6 厘米，AB=8 厘米， PO=10.9 厘米，求O 的半径（分析：由于 PO 既不是O 的切线也不是割线，故须将 PO 延长交O 于 D，构成了圆的一条割线，而 OD又恰好是O 的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解 ）例 2：如图 7-90，两个以 O 为圆心的同心圆，AB 切大圆于 B，AC 切小圆于 C，交大圆于D、EAB=12，AO=15，AD=8求：两圆的半径五课堂练习二五课堂练习二1、P 为O 外一点，OP 与O 交于点 A，割线 PBC 与O 交于点 B、C，且PB=BCOA=7，PA=2，求 PC 的长2、已知：如图 7-92，O 和O都经过 A 和 B，PQ 切O
7、于 P，交O于 Q、M，交AB 的延长线于 N求证：PN2=NMNQ六课堂反思：六课堂反思：观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，NP 是O 的切线，NMQ 是O的割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线 NBA具备了在两圆中运用切割线定 理及其推论的条件例：如图 7-93，四边形 ABCD 内接于O，AB 长7cm，CD=10cm，ADBC=12，延长 BA、CD 相交于E，从 E 引圆的切线 EF求 EF 的长分析：此题中 EF 是O 的切线，由切割线定理：EF2=EDEC=EAEB，故要求 EF 的长，须知 ED 或 EA 的长，而四边形 ABCD 内接于O，可EB 长
8、为 2x，应用割线定理，可求得 x，于是 EF 可求证明：四边形 ABCD 内接于OEADECBEB=2xx(x+10)=(2x-7)2xx=8EF2=8(8+10)EF=12答：EF 长为 12cm高二数学选修 4-1 六六 和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段 习题课习题课班级 姓名 学号 来源：高考%资源网 KS%5U 教学目标：教学目标： 1理解相交弦定理及其推论；掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和 证明； 2掌握切线长定理及构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形 归纳出几何性质的能力 3能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主
9、义的观点 教学重点：教学重点：正确理解相交弦定理及其推论切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到 的重要定理 教学难点：教学难点： 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系 教学教学活动活动： 一切线长概念一切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度， “切线长”是切 线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。 二。切线长定理切线长定理 对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条 切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个 切点可得到一个等腰三角形；（4
10、）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的 两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的 角。 三利用切线长定理解题三利用切线长定理解题 例例 1. 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 1，以 BC 为直径。在正方形内 作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求DE： AE 的值。 解图 1例例 2 ：如图 7，在直角三角形 ABC 中，A90，以 AB 边 为直径作O，交斜边 BC 于点 D，过 D 点作O 的切线交 AC 于 E。求证：BC2OE。点悟：由要证结论易想到应证 OE 是ABC 的中位线。而 OAOB，只须证
11、AECE。 图 7证明：连结 OD。 ACAB，AB 为直径AC 为O 的切线，又 DE 切O 于 DEAED，ODDE OBOD，BODB 在 RtABC 中，C90B ODE90 CEDC EDEC AEEC OE 是ABC 的中位线 BC2OE例例 3： 如图 8，在正方形 ABCD 中，AB1，是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一 段弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作所在圆的切线，交边 DC 于点 F，G 为切点。 当 DEF45时，求证点 G 为线段 EF 的中点；解：由DEF45，得 ， DFEDEF DEDF 又ADDC AE
12、FC因为 AB 是圆 B 的半径，ADAB，所以 AD 切圆 B 于点 A； 同理，CD 切圆 B 于点 C。 又因为 EF 切圆 B 于点 G，所以 AEEG，FCFG。 因此 EGFG，即点 G 为线段 EF 的中点。 图 8 四、反馈测试四、反馈测试 一、选择题来源：高考%资源网 KS%5U 1. 已知：PA、PB 切O 于点 A、B，连结 AB，若 AB8，弦 AB 的弦心距 3，则 PA（ ）A. B. C. 5 D. 82. 下列图形一定有内切圆的是（ ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形3. 已知：如图 1 直线 MN 与O 相切于 C，AB 为直径， CAB4
13、0，则MCA 的度数（ ） A. 50 B. 40 C. 60 D. 55图 1 4. 圆内两弦相交，一弦长 8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为 1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm5. 在ABC 中，D 是 BC 边上的点，AD，BD3cm，DC4cm，如果 E 是 AD 的延 长线与ABC 的外接圆的交点，那么 DE 长等于（ ）A. B. C. D. 6. PT 切O 于 T，CT 为直径，D 为 OC 上一点，直线 PD 交O 于 B 和 A，B 在线段 PD 上， 若 CD2，AD3，BD4，则 PB 等于（ ）A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题7. AB、CD 是O 切线，ABCD，EF 是O 的切线，它和 AB、CD 分别交于 E、F，则 EOF_度。8. 已知：O 和不在O 上的一点 P，过 P 的直线交O 于 A、B 两点，若 PAPB24，OP5，则O 的半径长为_。9. 若 PA 为O 的切线，A 为切点，PBC 割线交O 于 B、C，若 BC20，则 PC 的长为_。10. 正ABC 内接于O，M、N 分别为 AB、AC 中点，延长 MN 交O 于点 D，连结 BD 交AC 于 P，则_。
