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1、教研室主任 (签字)： 系主任(签字)：第 1 页 共 5 页广西师范大学漓江学院试卷广西师范大学漓江学院试卷（20102010 20112011 学年第一学期）学年第一学期）课程名称：近世代数 课程序号： 开课院系：理学系任课教师：陈迪三 年级、专业：08 数学 考试时间：120 分钟 考核方式：闭卷 开卷 试卷类型：A 卷 B 卷 C 卷 题号一二三四五总分统分人签字满分得分一、判断题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） （正确的打“” ，错的打“” ） 。1任何集合与它的一个真子集之间都不存在一一映射。 （ ）2群的两个子群的交与并仍是的子群。 （ GG）3有理数全体对
2、于在数的乘法下构成群。 （ Q）4循环群的同态像仍然是循环群。 （ ）5如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构 （ aG aG）6无零因子环的同态象无零因子。 （ ）7由素数所生成的主理想一定是最大理想。 （ p( )p）8模 47 的剩余类环无零因子。 （ 47Z）9整环中非零非单位的元一定有唯一分解 （ I）10在整环中，单位元与单位等价。 （ I）得 分学 号： 姓 名： 所属院系： 年 级： 专 业： 装订密封线 考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。第 2 页 共 4 页二、填空题（本大题共 7 小题，每空
3、 2 分，共 20 分） （请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分） 。1. 如果集合的元间的一个等价关系，在这个等价关系下，是两个等价类，A ,ab的充要条件是 的元素所在的等价类 。 abAa a 2规定的运算 为(等号右边的运算是普通乘法)，则对于结合律和交换律而言，Ro2a babo这个运算满足 。3次对称群的阶是 。nnS4特征为的交换环中，= 。pR()pa b5假定是有单位元的交换环，是的一个理想，则是域的充要条件是： RIRR I。 6. 设是有单位元环的元生成的主理想，则中的元可表示为 。 IRaI7. 整环不是唯一分解整环，因为它的元素 在3 |,Iaba b其中
4、是整数中有两种本质不同的分解 。I三、计算题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）1.求模 15 的剩余类加群的所有非平凡子群。15Z。2. 设是模 6 的剩余类环，且60,1,2,3,4,5Z 6( ), ( ) f x g xZ x如果，求：，。32( )352, ( )453f xxxg xxx( )( )f xg x( ) ( )f x g x得 分得 分得分得分得分得分第 3 页 共 4 页第 4 页 共 4 页四、证明题（本大题共 4 小题，每小题 11 分，共 44 分） (注：答题写不完可写在试卷背面)1设是群，是的固定元素，在中定义运算：GxGG(,)a babaxbG证明：是群。( ,)G 2. 设是通常的整数加群，在上定义一个新的运算如下：对任意的( , )Z Z规定：。证明：, a bZ1abab(1)是一个交换加群；( ,)Z (2)设 ，其中对任意的，,则是同构映射。 :( , )( ,)ZZ aZ( )1aa得 分得分得分得分得分第 5 页 共 4 页3. 设都是环，是环到的同态满射，是的理想，证明：,1R2Rf1R2RB2R是的理想。)(,|1BafRaaA1R。4.是刚好包含所有复数(是整数)的整环。证明 不是的Iabi, a b5I素元； 有没有唯一分解。5得分得分得分得分
