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1、第五章第五章 数列数列一、基础知识一、基础知识 定义 1 数列，按顺序给出的一列数，例如 1，2，3，n，. 数列分有穷数列和无穷 数列两种，数列an的一般形式通常记作 a1, a2, a3,，an或 a1, a2, a3,，an。其中 a1叫 做数列的首项，an是关于 n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理 1 若 Sn表示an的前 n 项和，则 S1=a1, 当 n1 时，an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列，如果对任意的正整数 n，都有 an+1-an=d（常数） ，则an称为等差数列， d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列，即 2b=a+c，则称 b 为 a 和
2、c 的等差中项，若公 差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质：1）通项公式 an=a1+(n-1)d；2）前 n 项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中 n, m 为正整数；4）若dnnnaaann 2) 1( 2)(11n+m=p+q，则 an+am=ap+aq；5）对任意正整数 p, q，恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若 A，B 至 少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.定义 3 等比数列，若对任意的正整数 n，都有，则an称为等比数列，q 叫做公qaann1比。定理 3 等比数列的性质：1）an=a
3、1qn-1；2）前 n 项和 Sn，当 q1 时，Sn=；qqan 1)1 (1当 q=1 时，Sn=na1；3）如果 a, b, c 成等比数列，即 b2=ac(b0)，则 b 叫做 a, c 的等比中项； 4）若 m+n=p+q，则 aman=apaq。 定义 4 极限，给定数列an和实数 A，若对任意的0，存在 M，对任意的 nM(nN),都有|an-A|1.na1【证明】 证明更强的结论：1an.又由 an+1=5an+移项、平方得1242na. 01102 12 1nnnnaaaa当 n2 时，把式中的 n 换成 n-1 得，即01102 112nnnnaaaa. 01102 12
4、1nnnnaaaa因为 an-10,12nna所以Sn, 所以，41 21 21nS21 41nS所以 Sn0，2211 xx由可知对任意 nN+，0 且,22nn xx 22lg222lg11nnnn xxxx所以是首项为，公比为 2 的等比数列。 22lgnn xx 2222lg所以，所以，1222lgnnn xx 2222lg22nn xx122222 n解得。2nx11112222)22()22()22()22(nnnn注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 三、基础训练题三、基础训练题 1 数列xn满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中 Sn为xn前 n 项和，当 n
5、2 时，xn=_.2. 数列xn满足 x1=，xn+1=,则xn的通项 xn=_.21 232 nn xx3. 数列xn满足 x1=1，xn=+2n-1(n2)，则xn的通项 xn=_.121nx4. 等差数列an满足 3a8=5a13，且 a10, Sn为前 n 项之和，则当 Sn最大时，n=_. 5. 等比数列an前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10，S30=70，则 S40=_. 6. 数列xn满足 xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn，则 S100=_. 7. 数列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+
6、|a10|=_.8. 若，并且 x1+x2+ xn=8，则12531332211 nxx xx xx xxnnLx1=_.9. 等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若，则=_.132 nn TSnnnnnbalim10. 若 n!=n(n-1)21, 则=_.!1) 1(220071nnnnn 11若an是无穷等比数列，an为正整数，且满足 a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36，求的通项。 na112已知数列an是公差不为零的等差数列，数列是公比为 q 的等比数列，且 b1=1,
7、 nbab2=5, b3=17, 求：（1）q 的值；（2）数列bn的前 n 项和 Sn。四、高考水平训练题四、高考水平训练题1已知函数 f(x)=，若数列an满足 a1=，an+1=f(an)(nN+)，) 1(11211221 21xxxxxx37则 a2006=_. 2已知数列an满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，则an的通项 an=. )2() 1(1 nn3. 若 an=n2+, 且an是递增数列，则实数的取值范围是_.n4. 设正项等比数列an的首项 a1=, 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-（210+1）S20+S10=0，则21
8、an=_.5. 已知，则 a 的取值范围是_.31 ) 1(33lim1nnnna6数列an满足 an+1=3an+n(n N+) ，存在_个 a1值，使an成等差数列；存在 _个 a1值，使an成等比数列。7已知(n N+)，则在数列an的前 50 项中，最大项与最小项分别是402401nnan_. 8有 4 个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数 的和中 16，第二个数与第三个数的和是 12，则这四个数分别为_. 9. 设an是由正数组成的数列，对于所有自然数 n, an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比 中项，则 an=_. 10. 在公比大于
9、1 的等比数列中，最多连续有_项是在 100 与 1000 之间的整数. 11已知数列an中，an0，求证：数列an成等差数列的充要条件是（n2）恒成立。11143322111111nnnaaaaaaaaaaL12已知数列an和bn中有 an=an-1bn, bn=(n2), 当 a1=p, b1=q(p0, q0)且 p+q=12 11 1 nn ab时， （1）求证：an0, bn0 且 an+bn=1（nN） ；（2）求证：an+1=；（3）求数列1nn aa.limnnb 13是否存在常数 a, b, c，使题设等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)12) 1( nn
10、对于一切自然数 n 都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于 3，且各项和为 972，这样的数列 共有_个。2设数列xn满足 x1=1, xn=，则通项 xn=_.722411 nn xx3. 设数列an满足 a1=3, an0，且，则通项 an=_.5 123nnaa4. 已知数列 a0, a1, a2, , an, 满足关系式(3-an+1)(6+an)=18，且 a0=3，则=_. niia015. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=_. 6. 各项均为实数的等差数列的公差
11、为 4，其首项的平方与其余各项之和不超过 100，这样 的数列至多有_项.7. 数列an满足 a1=2, a2=6, 且=2，则112 nnn aaa_.221limnaaannL8. 数列an 称为等差比数列，当且仅当此数列满足 a0=0, an+1-qan构成公比为 q 的等比数 列，q 称为此等差比数列的差比。那么，由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时，项数最多有_项.9设 hN+，数列an定义为：a0=1, an+1=。问：对于怎样的 h， 为奇数为偶数nnnnahaaa 2存在大于 0 的整数 n，使得 an=1？ 10设akk1为一非负整数列，且对任意 k1，满
12、足 aka2k+a2k+1， （1）求证：对任意正 整数 n，数列中存在 n 个连续项为 0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零 项的数列。 11求证：存在唯一的正整数数列 a1,a2,使得a1=1, a21, an+1(an+1-1)=. 1113 22 nnnn aaaa六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1设 an为下述自然数 N 的个数：N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1，3 或 4，求 证：a2n是完全平方数，这里 n=1, 2,. 2设 a1, a2, an表示整数 1，2，n 的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排 列数目：a1=1;
13、|ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。 试问 f(2007)能否被 3 整除？ 3设数列an和bn满足 a0=1,b0=0，且 ., 2 , 1 , 0, 478, 36711 Lnbabbaannnnnn求证：an (n=0,1,2,)是完全平方数。 4无穷正实数数列xn具有以下性质：x0=1，xi+1xi (i=0,1,2,), （1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个 n1，使3.999 均成立；nn xx xx xx2 122 112 0L（2）寻求这样的一个数列使不等式4 对任一 n 均成立。nn xx xx xx2 122 112 0L5设 x1,x2,xn是各项都
14、不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有多少项？6设 a1=a2=，且当 n=3,4,5,时，an=,3122 122 12 12 42)21 ( nnnnnn aaaaaa()求数列an的通项公式；()求证：是整数的平方。21na7整数列 u0,u1,u2,u3,满足 u0=1，且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu，这里 k 是某个固定的正 整数。如果 u2000=2000，求 k 的所有可能的值。8求证：存在无穷有界数列xn，使得对任何不同的 m, k，有|xm-xk|.1 km9.已知 n 个正整数 a0,a1,，an和实数 q，其中 0q1，求证：n 个实数 b0,b1,，bn和满足： （1）akb
