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1、第五章第五章 数列数列一、基础知识一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,n,. 数列分有穷数列和无穷 数列两种,数列an的一般形式通常记作 a1, a2, a3,,an或 a1, a2, a3,,an。其中 a1叫 做数列的首项,an是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理 1 若 Sn表示an的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n1 时,an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数) ,则an称为等差数列, d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和
2、c 的等差中项,若公 差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式:Sn=;3)an-am=(n-m)d,其中 n, m 为正整数;4)若dnnnaaann 2) 1( 2)(11n+m=p+q,则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若 A,B 至 少有一个不为零,则an是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn.定义 3 等比数列,若对任意的正整数 n,都有,则an称为等比数列,q 叫做公qaann1比。定理 3 等比数列的性质:1)an=a
3、1qn-1;2)前 n 项和 Sn,当 q1 时,Sn=;qqan 1)1 (1当 q=1 时,Sn=na1;3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b2=ac(b0),则 b 叫做 a, c 的等比中项; 4)若 m+n=p+q,则 aman=apaq。 定义 4 极限,给定数列an和实数 A,若对任意的0,存在 M,对任意的 nM(nN),都有|an-A|1.na1【证明】 证明更强的结论:1an.又由 an+1=5an+移项、平方得1242na. 01102 12 1nnnnaaaa当 n2 时,把式中的 n 换成 n-1 得,即01102 112nnnnaaaa. 01102 12
4、1nnnnaaaa因为 an-10,12nna所以Sn, 所以,41 21 21nS21 41nS所以 Sn0,2211 xx由可知对任意 nN+,0 且,22nn xx 22lg222lg11nnnn xxxx所以是首项为,公比为 2 的等比数列。 22lgnn xx 2222lg所以,所以,1222lgnnn xx 2222lg22nn xx122222 n解得。2nx11112222)22()22()22()22(nnnn注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。 三、基础训练题三、基础训练题 1 数列xn满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中 Sn为xn前 n 项和,当 n
5、2 时,xn=_.2. 数列xn满足 x1=,xn+1=,则xn的通项 xn=_.21 232 nn xx3. 数列xn满足 x1=1,xn=+2n-1(n2),则xn的通项 xn=_.121nx4. 等差数列an满足 3a8=5a13,且 a10, Sn为前 n 项之和,则当 Sn最大时,n=_. 5. 等比数列an前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40=_. 6. 数列xn满足 xn+1=xn-xn-1(n2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn,则 S100=_. 7. 数列an中,Sn=a1+a2+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+
6、|a10|=_.8. 若,并且 x1+x2+ xn=8,则12531332211 nxx xx xx xxnnLx1=_.9. 等差数列an,bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn,若,则=_.132 nn TSnnnnnbalim10. 若 n!=n(n-1)21, 则=_.!1) 1(220071nnnnn 11若an是无穷等比数列,an为正整数,且满足 a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36,求的通项。 na112已知数列an是公差不为零的等差数列,数列是公比为 q 的等比数列,且 b1=1,
7、 nbab2=5, b3=17, 求:(1)q 的值;(2)数列bn的前 n 项和 Sn。四、高考水平训练题四、高考水平训练题1已知函数 f(x)=,若数列an满足 a1=,an+1=f(an)(nN+),) 1(11211221 21xxxxxx37则 a2006=_. 2已知数列an满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),则an的通项 an=. )2() 1(1 nn3. 若 an=n2+, 且an是递增数列,则实数的取值范围是_.n4. 设正项等比数列an的首项 a1=, 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-(210+1)S20+S10=0,则21
8、an=_.5. 已知,则 a 的取值范围是_.31 ) 1(33lim1nnnna6数列an满足 an+1=3an+n(n N+) ,存在_个 a1值,使an成等差数列;存在 _个 a1值,使an成等比数列。7已知(n N+),则在数列an的前 50 项中,最大项与最小项分别是402401nnan_. 8有 4 个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数 的和中 16,第二个数与第三个数的和是 12,则这四个数分别为_. 9. 设an是由正数组成的数列,对于所有自然数 n, an与 2 的等差中项等于 Sn与 2 的等比 中项,则 an=_. 10. 在公比大于
9、1 的等比数列中,最多连续有_项是在 100 与 1000 之间的整数. 11已知数列an中,an0,求证:数列an成等差数列的充要条件是(n2)恒成立。11143322111111nnnaaaaaaaaaaL12已知数列an和bn中有 an=an-1bn, bn=(n2), 当 a1=p, b1=q(p0, q0)且 p+q=12 11 1 nn ab时, (1)求证:an0, bn0 且 an+bn=1(nN) ;(2)求证:an+1=;(3)求数列1nn aa.limnnb 13是否存在常数 a, b, c,使题设等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)12) 1( nn
10、对于一切自然数 n 都成立?证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项和为 972,这样的数列 共有_个。2设数列xn满足 x1=1, xn=,则通项 xn=_.722411 nn xx3. 设数列an满足 a1=3, an0,且,则通项 an=_.5 123nnaa4. 已知数列 a0, a1, a2, , an, 满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则=_. niia015. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=_. 6. 各项均为实数的等差数列的公差
11、为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样 的数列至多有_项.7. 数列an满足 a1=2, a2=6, 且=2,则112 nnn aaa_.221limnaaannL8. 数列an 称为等差比数列,当且仅当此数列满足 a0=0, an+1-qan构成公比为 q 的等比数 列,q 称为此等差比数列的差比。那么,由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时,项数最多有_项.9设 hN+,数列an定义为:a0=1, an+1=。问:对于怎样的 h, 为奇数为偶数nnnnahaaa 2存在大于 0 的整数 n,使得 an=1? 10设akk1为一非负整数列,且对任意 k1,满
12、足 aka2k+a2k+1, (1)求证:对任意正 整数 n,数列中存在 n 个连续项为 0;(2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零 项的数列。 11求证:存在唯一的正整数数列 a1,a2,使得a1=1, a21, an+1(an+1-1)=. 1113 22 nnnn aaaa六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1设 an为下述自然数 N 的个数:N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1,3 或 4,求 证:a2n是完全平方数,这里 n=1, 2,. 2设 a1, a2, an表示整数 1,2,n 的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质的排 列数目:a1=1;
13、|ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。 试问 f(2007)能否被 3 整除? 3设数列an和bn满足 a0=1,b0=0,且 ., 2 , 1 , 0, 478, 36711 Lnbabbaannnnnn求证:an (n=0,1,2,)是完全平方数。 4无穷正实数数列xn具有以下性质:x0=1,xi+1xi (i=0,1,2,), (1)求证:对具有上述性质的任一数列,总能找到一个 n1,使3.999 均成立;nn xx xx xx2 122 112 0L(2)寻求这样的一个数列使不等式4 对任一 n 均成立。nn xx xx xx2 122 112 0L5设 x1,x2,xn是各项都
14、不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有多少项?6设 a1=a2=,且当 n=3,4,5,时,an=,3122 122 12 12 42)21 ( nnnnnn aaaaaa()求数列an的通项公式;()求证:是整数的平方。21na7整数列 u0,u1,u2,u3,满足 u0=1,且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu,这里 k 是某个固定的正 整数。如果 u2000=2000,求 k 的所有可能的值。8求证:存在无穷有界数列xn,使得对任何不同的 m, k,有|xm-xk|.1 km9.已知 n 个正整数 a0,a1,,an和实数 q,其中 0q1,求证:n 个实数 b0,b1,,bn和满足: (1)akb