《试题名称：“理想杯”学科竞赛邀请赛数学试卷及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《试题名称：“理想杯”学科竞赛邀请赛数学试卷及答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“理想杯理想杯”学科竞赛邀请赛数学试卷学科竞赛邀请赛数学试卷满分 150第一试（满分 100 分）一、填空题（每小题 6 分，共 72 分）1.已知 与 互为相反数，则 = .2四个数之和为 100，如果第一个数加上 4，第二个数减去 4，第三个数乘以 4，第四个数除以 4，所得和、差、积、商全相等.那么这四个数的最大公约数是 .3在形状、大小、材料完全相同的黑筷子、白筷子、红筷子、绿筷子各 4 双，混合在一起，要求闭着眼睛保证从中摸取到不同颜色的筷子两双，则一次至少要摸出 根.4如果令 ，读作 的阶乘，其中 是正整数.那么，和 的末位数字是 .5 = . 6关于 方程 所有根和为 .7凸五边
2、形 ABCDE 中，如图，则这个正五边形 ABCDE 的面积为 . 8已知 是方程 的两个根，且 ，则 = .9已知 ， 则 的值为 .10满足方程 所有正整数解有 组.11若 ，则 的值为 . 12如果边长顺次为 25，39，52 与 60 的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为 . 二、解答题（每小题 14 分，共 28 分）13.任给五个正整数，证明：必能从中选取三个，使得它们的和能被 3 整除.14.在同一个平面内， 是线段 上的两个定点，且 ， 是线段 外一个动点.当点 运动到何位置时，使 ，且 都是锐角.你能否判断此时 的形状.第二试第二试（满分 50 分，每小题 25 分）15设
3、，方程 的根为 ，且 ，当 时，试比较 与 的大小，并说明理由.16如图， ，圆O经过 两个顶点 ，分别交边 于点 ，（ 不相同）， 的外接圆与 的外接圆恰相交于 B 和另一点 M. 求证： .参考答案参考答案13；24；312；43；5 ；60；7 ；8 ；97；103；11 ；12 ；13证明:这五个数按被 3 除的余数 0,1,2,分为 三类(1)若这三类都有,那么可从这三类中各取一个, 不妨记为 ,其和为 ,能被 3 整除;(2)若只有两类,则由抽屉原理,在这两类中必有一类至少有三个数,这三个数的和能被 3 整除;(3)若这五个数属于同一类,那么任取 3 个,其和能被 3 整除.14说
4、明：本题解法很多解法 1： ， - 同理，由 得 -由得 是等腰三角形， 在 的垂直平分线上，且 不在 上.解法 2：（反证法）若 ，不妨先设 ，则 ， 在 中， 在 中， 又 ， ， . ，即 ，即 与 矛盾.故 不成立.同理 不成立. 是等腰三角形， 在 的垂直平分线上，且 不在 上.解法 3：作 交于E.则四边形AEBP，AEQC是平行四边形 又 四点共圆 是等腰三角形， 在 的垂直平分线上，且 不在 上.解法 4：作 的外接圆，如图，延长AP、AQ，分别交外接圆于E、F，连结BE、CF BE=CF，弧BE=弧CF弧BF=弧CE 又BP=CQ 是等腰三角形， 在 的垂直平分线上，且 不在 上.15解：由 得 由韦达定理得 ，又 ， 又由于抛物线 开口向上，在 上函数 是减函数，且 ，即 16证明：如图，连结 共圆和 共圆 ，即 连结 ，则 四点共圆
