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1、PBCADABCDA1C1B1D1第七届第七届“锐丰杯锐丰杯”初中数学邀请赛试题初中数学邀请赛试题(满分满分 150 分分)一一选择题（本大题共选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 36 分，每题有且只有一个答案）分，每题有且只有一个答案）1化简得（ ）23215 215 A B C D215 215 5352如图，已知是正方形内一点，是等边三角形，PABCDPBC 若的外接圆半径为，则正方形边长为（ ）PADaABCDA B C D 12a3 2aa2a3函数的图像和轴有交点，则277ykxxxkA B C且 D 且 7 4k 7 4k 7 4k 0k 7 4k
2、0k 4对于一个正整数，若能找到正整数使得，则称为一个“好数” ，例如： n, a bnababn，则 3 就是一个“好数” ，那么从 1 到 20 这 20 个正整数中“好数”有( )31 1 1 1 A 8 个 B 10 个 C 12 个 D 13 个5凸四边形 ABCD 的四个顶点满足：每一个顶点到其他三个顶点距离之积都相等。则四边形 ABCD 一定是（ ）A 正方形 B 菱形 C 等腰梯形 D 矩形6. 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB3，BC2，BB11，一蚂蚁从 A 点出发，沿长 方体表面爬到 C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值 为（ ）（A） （B） 143 2
3、（C） （D）2 526学校 准考证号 姓名 .密.封.线 .座位号 PNMFEDCBA二二填空题（本大题共填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 54 分分7.已知直线与抛物线相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么OAB 的面积32 xy2xy 等于_ . 8. 如图，正六边形中，是上一点，直线与射线ABCDEFPEDDC,AP AB相交于，当面积与正六边形面积相等时，,.M NAMNABCDEFEP PD9. 已知三个非负实数满足：和，若，则 mcba,523cba132cbacbam73的最小值为 10满足方程的的取值范围是 532xxx11小明是一位刻苦学
4、习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程时，突发奇想：21x 在实数范围内无解，如果存在一个数 ，使，那么若,则，从而21x i21i 21x xi 是方程的两个根。据此可知： 可以运算，例如：xi 21x i，则 ，方程的两根为 321iiiii 2011i2220xx（根用 表示）i注：问空 3 分，问空 6 分12已知对任意正整数都有，则n3 123naaaanL L23420111111 1111aaaaL L三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 20 分，共 60 分)13规定符号表示不超过的最大整数，例， xx 73.13,3, 663 求：方程大于的的解 22xx3x14如
5、图，已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， D 为 OC 的中点， 直线 AD 交抛物线于点 E（2，6） ，且ABE 与ABC 的面积之比为 32 （1）求这条抛物线对应的函数关系式； （2）连结 BD，试判断 BD 与 AD 的位置关系，并说明理由； （3）连结 BC 交直线 AD 于点 M，在直线 AD 上，是否存在这样的点 N（不与点 M 重合） ，使得以 A、B、N 为顶点的三角形与ABM 相似？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由yxOABCDEM15. 如图（1）至图（3） ，C 为定线段 AB 外一动点，以 AC、BC
6、为边分别向外侧作正方形 CADF和正方形 CBEG，分别作、，垂足分别为、当 C 的位置在直线 AB 的1DDAB1EEAB1D1E同侧变化过程中，（1）如图（1） ，当ACB90，AC=4，BC=3 时，求的值；11DDEE（2）求证：不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，的值为定值；11DDEE（3）求证：不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，线段 DE 的中点 M 为定点E1D1FABGCED图（1）E1D1FABGCED图（2）E1D1FABGCE D图（3）第七届第七届“锐丰杯锐丰杯”初中数学邀请赛参考答案初中数学邀请赛参考答案一选择题ACBCDB二填空题7 6 8
7、9 1 25 710 11 12 23x i1 i670 2011三解答题13解：；又由，即：（6 分） 222,2xxQ 3,3xx 32x 当时，原方程化为，检验适合（8 分） 3x 223,5xx 5x 当时，原方程化为，检验适合（10 分） 2x 222,2xx 2x 当时，原方程化为，检验都不适合（12 分） 1x 221,3xx 当时，原方程化为，检验都不适合（14 分） 0x 220,2xx 当时，原方程化为，检验适合（16 分） 1x 221,1xx 1x 当时，原方程化为，检验不适合（18 分） 2x 222,0xx综上可得满足条件的方程的解为或或（20 分） 5x 2x 1
8、x 14 （1）根据ABE 与ABC 的面积之比为 32 及 E（2，6） ， 可得 C（0，4） .D（0，2）. （2 分） 由 D（0，2） 、E（2，6）可得直线 AD 所对应的函数关系式为 y2x2.（4 分） 当 y0 时，2x20， 解得 x1. A（1，0）. （6 分） 由 A（1，0） 、C（0，4） 、E（2，6） 求得抛物线对应的函数关系式为 yx23x4. （8 分） （2）BDAD（9 分） 求得 B（4，0） ，（10 分）通过相似或勾股定理逆定理证得BDA90，即 BDAD.（12 分）（3）法 1：求得 M（ ， ） ，AM. （16 分）2 310 353
9、5由ANBABM，得，即 AB2AMAN，AN ABAB AM52AN，（18 分）53 5解得 AN3.从而求得 N（2，6）. （20 分）5法 2：由 OBOC4 及BOC90 得ABC45. （16 分） 由 BDAD 及 BDDE2得AEB45. （18 分）5AEBABM，即点 E 符合条件，N（2，6）. （20 分）15 （1）从,得，所以；1DD AACB14 45DD116 5DD 从,得，所以；所以；（6 分）1EE BBCA13 35EE19 5EE 112555DDEE（2）提示：定线段 AB 长为定值；猜想；过点 C 作，垂足为；11DDEEABCHABH再通过两对全等三角形来证明；（12 分）11DDEEAB（3）提示：利用“梯形的中位线长等于两底和的一半” ，设 M 为 DE 的中点，为的中点，Q11D E则：且，特殊地，当四边形为矩形时，以上结论仍1111()22MQDDEEABMQAB11DD E E然成立又因为可证明，所以的中点就是 AB 的中点11D AE B11D E所以，不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化， 线段 DE 的中点 M 为定点， 此定点 M 恒在“点 C 的同侧，与 AB 的中点距离为长的点上” （20 分）Q1 2ABQMHE1D1FABGCED
