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1、初中数学竞赛辅导资料（34）反证法甲内容提要甲内容提要 1.反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价 命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：ABAB 例如 原命题：对顶角相等 (真命题) 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题) 又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题) 3.用反证法证明命题，一般有三个步骤： 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） 结论 从而得出命题结论
2、正确 例如： 求证两直线平行。用反证法证明时 假设这两直线不平行； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 从而肯定，非平行不可。 乙例题乙例题 例 1 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图12 A 1 B 求证：ABCD 证明：设 AB 与 CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为 M D 这时，1 是GHM 的外角 A 1 M B 12 G 这与已知条件相矛盾 2 AB 与 CD 不平行的假设不能成立 H ABCD C 例 2.求证两条直线相交只有一个交点 证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的 两个点，这与“经过两点有且只有
3、一条直线”的直线公理相矛盾，所以假 设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出矛 盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待） 。例 3.已知：m2是 3 的倍数，求证：m 也是 3 的倍数 证明：设 m 不是 3 的倍数，那么有两种情况： m=3k+1 或 m= 3k+2 (k 是整数) 当 m=3k+1 时， m2（3k+1）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1 当 m=3k+2 时， m2（3k+2）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1 即不论哪一种，都推出 m2不是 3 的倍数，这和已知条件相矛盾，所 以假设不能成
4、立。 m2是 3 的倍数时，m 也是 3 的倍数例 4.求证：不是有理数2证明：假设是有理数，那么 （a,b 是互质的整数） ，22ba=,（）22， a2=2b2, a2是偶数，ba2baa2是偶数， a 也是偶数， 设 a=2k（k 是整数）, a2=4k2, 由 a2=2b2, 得 b2=a2=2k2, b2是偶数， b 也是偶数21那么 a、b 都是偶数，这和“a,b 是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成 立不是有理数2例 5.若 n 是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分314421 nn母没有公约数）证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约314421 n
5、n数为 k（k1）, 且 k,a,b 都是正整数，即 143214314421 bknaknbknakn， 3bk-2ak=1 , (3b-2a)k=1214ak 143bk整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是1 时，积才能 等于 1 3b-2a=1, k=1 分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数是既约分数314421 nn丙练习丙练习 34 1.写出下列各命题结论的反面：2. 已知：平面内三个点 A，B，C 满足 ABBCAC， 求证：A，B，C 三点在同一直线上 3.求证：等腰三角形的底角是锐角 4.求证：一个圆的圆心只有一个 5.求证：三角形至少有一个内角大于或等于 60
6、 度 6.如果 a2奇数，那么 a 也是奇数 （仿例 3） 7.求证：没有一个有理数的平方等于 3 (仿例 4) 8.已知 a,b,c 都是正整数，且 a2+b2=c2( 即 a,b,c 是勾股数) 求证a,b,c 至少有一个偶数 a,b,c 中至少有一个能被 3 整除 9.求证二元一次方程 8x+15y=50 没有正整数解 10.求证 方程 x2+y2=1991 没有整数解 11.把 1600 粒花生分给 100 只猴子，至少有 4 只猴子分得的花生一样多 12.已知：四边形 ABCD 中，AB+BDAC+CD 求证：ABn 或 m0, n=1,2,3 但这时 m 都不是整数， 7.设有整数
7、解 x=a, y=b 按奇数、偶数分类讨论 右边1991 是奇数，显然，a,b 不能同偶数，也不能同奇数， 设 a,b 一奇一偶，a=2m, b=2n+1 (m,n 都是整数) 那么左边（2m）2+(2n+1)24(m2+n2+n)+1 即左边是除以 4 余 1，而右边是除以 4 余 3， 11.反设：最多只有 3 只猴子分得一样多， 13.设两个交点（x1,0）,(x2,0)都在 X 轴的正半轴上，即 x10, x20 那么 x1x20,且 x1x20 这个不等式组无解，即这个假设不能成立， 003 mm1.设有有理数根（n 是整数，m 是正整数且 m,n 是互质的）mn即 a()2+b()+c=0, m,n 不能同偶数外，按奇数、偶数分 3 类讨论，mn mn逐一否定。2.设点 A 和其他 6 个点 B，C，D，E，F，G 的距离都小于这 6 个点彼此 这间的距离（如图）在ABC 中，BCAB 且 BCAC，BAC60o同理CAD60 o这与 1 周角360 相矛盾o16. 设则10 且20A AB BC CD DE EF FG G
