《全国初中数学竞赛辅导（初2）第04讲分式的化简与求值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国初中数学竞赛辅导（初2）第04讲分式的化简与求值（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲第四讲 分式的化简与求值分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能 是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的 分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这 一性质是分式运算中通分和约分的理论根据在分式运算中，主要是通 过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值除此之外，还要根据 分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答本讲主要介 绍分式的化简与求值例例 1 1 化简分式：分析分析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的 形式，再化简将简便得多(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-
2、2)说明说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式例例 2 2 求分式当 a=2 时的值分析与解分析与解 先化简再求值直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项例例 3 3 若 abc=1，求分析分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂下面介绍 几种简单的解法解法解法 1 1 因为 abc=1，所以 a，b，c 都不为零解法解法 2 2 因为 abc=1，所以 a0，b0，c0例例 4 4 化简分式：分析与解分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解 因式，然后再化简说明说明互消掉的一对
3、相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分 式化简中常用的技巧例例 5 5 化简计算(式中 a，b，c 两两不相等)：似的， 对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑 成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法解解说明说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例例 6 6 已知：x+y+z=3a(a0，且 x，y，z 不全相等)，求分析分析 本题字母多，分式复杂若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0， 那么题目只与 x-a，y-a，z-a 有关，为简化计算，可用换元法求解解解 令 x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w
4、2+2(uv+vw+wu)=0由于 x，y，z 不全相等，所以 u，v，w 不全为零，所以 u2+v2+w20，从而有说明说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简 化例例 7 7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值(x-4)2=3，即 x2-8x+130原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明说明 本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种 特殊类型，应用得当会使问题的求解
5、过程大大简化解法解法 1 1 利用比例的性质解决分式问题(1)若 a+b+c0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若 a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明说明 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使 用，便于问题的求解解法解法 2 2 设参数法令则a+b=(k+1)c，a+c=(k+1)b，b+c=(k+1)a+有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有 k=1 或 a+b+c=0当 k=1 时，当 a+b+c=0 时，说明说明 引进一个参数 k 表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条 件便于使用练习四练习四1化简分式：2计算：3已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值
