《奥数培训讲义第5讲《指、对、幂函数》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《奥数培训讲义第5讲《指、对、幂函数》（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 5 讲讲 指数函数、对数函数、幂函数指数函数、对数函数、幂函数指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数 学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与 对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。一、内容提要一、内容提要1、 指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘 aaa(n 个)=an导出乘方，这 里的 n 为正整数。从初中开始，首先将 n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来， 推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出：“对数源出于指
2、数”。一般地，如果 a(a0,a1)的 b 次幂等于 N，就是 ab=N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。ab=N 与 b=logaN 是一对等价的式子，这里 a 是给定的不等于 1 的正常数。当给出 b 求 N 时，是指数运算，当给出 N 求 b 时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。2、指数运算与对数运算的性质1指数运算性质主要有 3 条：axay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=axbx（a0,a1,b0,b1）2对数运算法则（性质）也有 3 条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）l
3、oga(M/N)=logaM-logaN（3）logaMn=nlogaM(nR)(a0,a1,M0,N0)3指数运算与对数运算的关系：X=alogax；mlogan=nlogam4负数和零没有对数；1 的对数是零，即 loga1=0；底的对数是 1，即 logaa=15对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论：logamNn=(n/m)logaN3、指数函数与对数函数函数 y=ax(a0,且 a1)叫做指数函数。它的基本情况是：（1）定义域为全体实数（-，+）（2）值域为正实数（0，+），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y0（3）对应关系为一一映射，从而存在反
4、函数-对数函数。（4）单调性是：当 a1 时为增函数；当 00,a1),f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)函数 y=logax(a0,且 a1)叫做对数函数，它的基本情况是：（1）定义域为正实数（0，+）（2）值域为全体实数（-，+）（3）对应关系为一一映射，因而有反函数指数函数。（4）单调性是：当 a1 时是增函数，当 00,a1)，f(xy)=f(x)+f(y),f(x/y)=f(x)-f(y)二、例题选讲二、例题选讲1若 f(x)=(ax/(ax+a)，求 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001) 25log25等
5、于：（ ）（A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log523计算4试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。5已知(a,b 为实数)且 f(lglog310)=5，则 f(lglg3)的值是（ ）（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随 a,b 的取值而定6已知函数 f(x)=loga(1+x)/(1-x)(a0,a1)（1）求 f(x)的定义域（2）判断 f(x)的奇偶性并给以证明；（3）当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 取值范围；722003的十进制表示是个 P 位数，52003的十进
6、位表示是个 q 位数，则 p+q= 。8已知 x2-2x+loga(a2-a)=0 有一正根和一负根，求实数 a 的范围。9设 y=log(1/2)a2x+2(ab)x-b2x+1(a0,b0)，求使 y 为负值的 x 的取值范围三、巩固练习三、巩固练习1设 a,b,c 都是正数，且 3a=4b=6c，那么（ ）（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b)2.F(x)=(1+(2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函数，且 f(x)不恒等于零，则 f(x)( )（A）是
7、奇函数 （B）是偶函数 （C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数3若 f(x)=3x+5，则 f-1(x)的定义域是（ ）（A）(0,+) (B) (5,+) (C) (8,+) (D) (-,+)4求值：6lg405lg365已知 m,n 为正整数，a0,a1,且 logam+loga(1+(1/m)+loga(1+(1/(m+1) +loga(1+(1/(m+n-1)=lgam+logan。求 m,n6X=(1/(log(1/2)(1/3)+(1/(log(1/5)(1/3)的值属于区间（ ）（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3
8、）7计算：（1）lg20+log10025 (2)lg5lg20+(lg2)28若集合x，xy，lg(xy)=0，x,y，则 log8(x2+y2)= 。9若 x(1,10)，则 lg2x,lgx2,lglgx 的大小顺序是：（A）lg2xlgx2lglgx (B)lg2xlglgxlgx2 （C）lgx2lg2xlglgx (D)lglgxlg2xlgx210计算：)11集合x-1log(1/x)10-(1/2),xN的真子集的个数是 。12求函数 y=(1/4)x2-2x-3的单调区间。13已知指数函数 f(x)=ax(a0,且 a1)，求满足 f(3x2-4x-5)f(2x2-3x+1)
9、的 x 的取值。14解方程 8log6(x2-7x+15)=5log6815设有关于 x 的不等式 lg (x+3+x-7)a（1）当 a=1 时，解这个不等式；（2）当 a 为何值时，这个不等式的解集为 R？ 第 5 讲 指数函数、对数函数、幂函数指数函数、对数函数、幂函数 答案例题答案： 1 分析：和式中共有 1000 项，显然逐项相加是不可取的。需找出 f(x)的结构特征， 发现规律，注意到 1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=1， 而 f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+a)+(a1-x/(a1-x+a)=(ax/(ax
10、+a)+(a/(a+axa)=(ax/(ax+a)+(a)/(ax+a)=(ax+a)/(ax+a)=1 规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：原式=f(1/1001)+f(1000/1001)+f(2/1001)+f(999/1001)+f(500/1001)+f(501/1001) =(1+1+1)5000 个=500说明：观察比较，发现规律 f(x)+f(1-x)=1 是本例突破口。 （1）取 a=4 就是 1986 年的高中数学联赛填空题：设 f(x)=(4x/(4x+2)，那么和式 f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+f(1000/1001)的值= 。
11、（2）上题中取 a=9，则 f(x)=(9x/(9x+3)，和式值不变也可改变和式为求 f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(n-1)/n).（3）设 f(x)=(1/(2x+2)，利用课本中推导等差数列前 n 项和的方法，可求得 f(-5)+f(-4) +f(0)+f(5)+f(6)的值为 。这就是 2003 年春季上海高考数学第 12 题。2解：5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)10log25选（B）说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a0,a1,N0) 这是北京市 1997 年高中一年级数学竞赛试题。3解法 1：先运用
12、复合二次根式化简的配方法对真数作变形。解法 2：利用算术根基本性质对真数作变形，有 说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。4解：对于两个正数的大小，作商与 1 比较是常用的方法，记 122003=a0，则有(122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(122004+1)=(a/12)+1)/(a+1)(12a+1)/(a+1)=(a+12)(12a+1) /(12(a+1)2)=(12a2+145a+12)/(12a2+24a+12)1 故得：(122002+1)/(122003+1)(122003+1)/(122004+1)5 解：设 lglog310=t，则 lg
13、lg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而 f(t)+f(-t)=f(-t)=8-f(t)=8-5=3 说明：由对数换底公式可推出 logablogba=(lgb/lga)(lga/lgb)=1，即 logab=(1/logba)，因而 lglog310 与 lglg3 是一对相反数。设中的部分，则 g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。6 解：（1）由对数的定义域知(1+x)/(1-x)0解这个分式不定式，得：(x+1)(x-1)0,-1x1故函数 f(x)的定义域为（-1
14、，1）（2）f(-x)=loga(1-x)/(1+x)=log(1+x)/(1-x)-1=-loga(1+x)/(1-x)=-f(x) 由奇函数的定义知，函数 f(x)是奇函数。（3）由 loga(1+x)/(1-x)0loga(1+x)/(1-x)loga1，因为 a1，所以由对数函数的单调性知(1+x)/(1-x)1，考虑由（1）知 x1,1- x0，去分母，得：1+x1-x,x0 故：0x1 所以对于 a1，当 x(0,1)时函数 f(x)07解：22003是个 P 位数,10p-12200310p 52003是个 q 位数，10q-15200310q 得:10p+q-2(25)2003
15、10p+q即 10p+q-210200310p+q 2003=p+q-1p+q=20048解：方程有一正根一负根的充分必要条件是：loga(a2-a)0（由韦达定理而来） 由 a0,a1,a2-a=a(a-1)0,可得 a1 ，从而由 loga(a2-a)0=loga1 得:a2-a1,a2-a-10，解得: ，由得：9解：(1/2)1,要使 y0,只要a2x+2(ab)x-b2x+11，即 a2x+2(ab)x-b2x0b2x(a/b)2x+2(a/b)x-10(a/b)x2+2(a/b)x-10 . 1当 ab0 时,a/b1,；2当 ba0 时,0a/b1, 3当 a=b0 时，xR。课后练习答案1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2；6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.1/3；9.（D）；10.1/2；11.290-1；12.单调增区间（-，1，单调减区间1，+）13.当 a1 时，x-2 或 x3，当 0a1 时，-2x3；14.x1=2,x2=5；15.(1)x
