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1、第 4 章方程组41 方程组的解法 411已知关、的方程组xy21,2213.axyaxay 分别求出当为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解，a 解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结 为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去axb 除方程的两边时，这个式子的值不能等于零 由式得，21yaax将代入得122aaxaa 当，即且时，210aa（）2a 1a 方程有唯一解，将此值代入有2 1axax，1 21ya因而原方程组有唯一一组解当，且时，即时，方程无解，因此原方程组无解210aa220a
2、a1a 当且时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有210aa210aa2a 无穷多组解评注对于二元一次方程组， （、为已知数，且与，与中都至少111222a xb yca xb yc 1a2a1b2b1a1b2a2b有一个不为零） （1）当时，方程组有唯一的解1122ab ab2 11 21 22 11 22 11 22 1b cbcxa ba ba ca cya ba b（2）当时，原方程组有无穷多组解111222abc abc（3）当时，原方程组无解111222abc abc412对、的哪些值，方程组至少有一组解？km214ykxmykx解析由原方程可得即214kxmkx14kxm（1
3、）当时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解1k k4 1mxk（2）当，时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解1k 4m 综上所述，当且为任意数，或且时，方程组至少有一组解1k m1k 4m 413已知关于、的二元一次方程xy12520axaya当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解a 解析 1 根据题意，可分别令，代入原方程得到一个方程组：1a 2a 330, 390.y x 解之得3, 1.x y 将，代入原方程得3x 1y 1321520aaa 所以对任何值a3,1xy 都是原方程的解评注取为的是使方程中，方程无项，可直接求出值；取的道理类似1a
4、 10axxy2a 解析 2 可将原方程变形为(2)250a xyxy由于公共解与无关，故有a20,250.xyxy 解之得公共解为3, 1.x y 414已知，且，求的值0xyz 20xyz5440xyz22222610 345xyz xyzz 解析已知代数式中含有、三个字母，而等式只有 2 个，在一般情况下是不可能求出、xyzxy 的具体值来的因此，可以把已知条件中的视为常数，得到关于、的方程组，从而找出、zzxyx 与的关系，由此可求出其值yz 把已知等式视作关于、的方程，视作常数，得关于、的方程组xyzxy20,5440.xyzxyz 解得2 , 3.2xzyz 因为，所以，于是0xy
5、z 0z 3 22 22222222326106102 334532452zzzxyz xyzzzzz22222227410152 126546zzzzzz 415若、的值满足方程组xy3234571103,177543897,xyxy 求的值422445xx yy解析由+得，即50010002000xy24xy由得：42xy把代入得：323 424571103yy解得，把代人得：，所以方程组解为1y 1y 2x 2, 1.x y 原式422424215 137 416当取何值时，关于、的方程组axy有正整数解5, 232xya xya 解析解方程组得所以，是被 3 除余 2 的整数223,
6、12.3axayaa由得所以，221,3 1213aaa15a 1a 25417为何值时，方程组k1,3 316kxyyx （1）当，即时，原方程组有唯一解1 63k2k 0, 1; 3xy（2）当，即时，原方程组无穷多组解；1 13 631k2k （3）由于，故方程组不可能无解1 3 31418若方程组的解满足，求的值344, 12322xymxym0xym解析将代入原方程组，得xy 4, ,5332ymym所以，5312302mm19 2m 419甲、乙二人同时求的整数解7axby甲求出一组解为而乙把中的 7 错看成 1，求得一组解为求、的值3, 4,x y 7axby1, 2,x y a
7、b解析 把，代入，得3x 4y 7axby347ab把，代入，得1x 2y 1axby21ab解方程组得347, 21,ab ab 5, 2.a b 4110甲、乙两人解方程组513,42.axyxby 由于甲看错了方程中的以而得到方程组的解为乙看错了方程中的而得到的解为3, 1;x y b5, 4.x y 假如按正确的、计算，求出原方程组的解ab解析因为甲只看错了方程中的，所以甲所得到的解应满足无的正确的方程，即a3, 1x y a 4312b 同理，应满足正确的方程，即5, 4x y 55413a 解由、联立的方程组得7,5 10.ab 所以原方程组应为7513,5 4102.xyxy 解
8、之得20, 8.2.x y 4111已知方程组无解，、是绝对值小于 10 的整数，求、的值35, 4xmy xny mnmn解析因为方程组无解的条件是参照这个条件问题便可解决1112220,0a xb yca xb yc 111222abc abc原方程组可化为因为方程组无解，所以有350, 40.xmy xny ，35 14m n所以，且，因为，所以，又因为是整数，所以，3mn45mn310mn1010 33nn3n ，0，1，2，3，相应地，-6，-3，0，3，6，9219m 所以，当时，原方程组无解9, 3,m n 6, 2,m n 3, 1,m n 0, 0,m n 3, 1,m n
9、6, 2,m n 9, 3m n 4112已知关于和的方程组xy 345, 569,8810,51029xy xynm xyxmn y 有解，求的值22mn 解析首先解方程组345, 569,xy xy 得到，代入原方程组中后两个方程，得到3x 1y 86, 53.mn mn 再解上面关于和的方程组，得到，mn9 13m 6 13n 221179 16913mn4413已知，求的值2ab ab5ac ac4bc bcabc解析根据题意有1,2 1,5 1.4ab ab ac ac bc bc 111,2 111,5 111 4abacbc +=. （+），得211119 40abc得，11 4
10、0c 40c 得，111 40b40 11b 得，19 40a40 9a 所以404031604091199abc 4114如果方程组的解是正整数，求整数的值, 5311xym xy m解析解方程组得113,2 511 2mxm y =. 因为、都是正整数，所以xy1131,2 5111.2mm 解得1335m因为是整数，所以m3m 将代入和式，、的值均为正整数3m xy 故3m 4115解方程组2347, 4232.32xyz xyyz 解析因为表示两个方程，即和，或者和423232xyyz423xy2322yz423 32xyyz，或者和，所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次423
11、xy423 32xyyz2322yy方程组，将原方程组改写为2347,42,3 232.2xyzxyyz 由方程得，代入化简得64xy11419yz 由得234yz得3 4 ，3385716yy 所以，1y 将代入，得将代入，1y 2z 1y 得所以2x 2, 1, 2x y z 为原方程组的解 评注本题解法中，由、消去时，采用了代入消元法；解、组成的方程组时，若用代入法消x 元，无论消去还是消去，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中的系数是一正一负，yzz 且系数的绝对值较小这一特征，采用加减消元法较简单 4116已知1230,165xyzxyz =0. 求的值xyz yxx解析-消
12、去得，即消去得，即消去x880yz1y z 3 y440xz1z x 5 3得，即所以，即为所求z880xy1x y1 1 11xyz yzx 4117解方程组5,1,15.xyzyxzxy z解析将+，得9xyz由+得，214x 7x 由+得，210y 5y 由+得，26z 3z 所以，原方程组的解为7, 5, 3,x y z 4118解方程组1,2,3,4,5.xyzyzuzuvuvxvxy 解析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：+得，3xu+得，5yv+得，7zx+得9uy又+得15xyzuv一一得，把代入得，把代入得，把代入得，把7z 7z 0x 0x 3u 3u 6y 代入得所以6y 1v 0, 6, 7, 3, 1.x y z u v 为原方程组的解 4119解方程组1124,1141
