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1、初中数学竞赛专题选讲（初三.2）完全平方数和完全平方式一、内容提要一、内容提要 一定义 1.如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如 0，1，0.36，121 都是完全平方数.254在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2.如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m2, (a+b2)2, 4x212x+9, 144 都是完全平方式.在实数范围 （a+）2, x2+2x+2, 3 也都是完全平方式.32二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只
2、能是 0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为 2，3，7，8 的整数必不是平方数. 2. 若 n 是完全平方数，且能被质数 p 整除, 则它也能被 p2整除. 若整数 m 能被 q 整除，但不能被 q2整除, 则 m 不是完全平方数. 例如：3402 能被 2 整除，但不能被 4 整除，所以 3402 不是完全平方数. 又如：444 能被 3 整除，但不能被 9 整除，所以 444 不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内 如果 ax2+bx+c (a0)是完全平方式，则 b24ac=0 且 a0； 如果 b24ac=0 且 a0；则 ax2+bx+c (a0)是完全平方
3、式.在有理数范围内 当 b24ac=0 且 a 是有理数的平方时，ax2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b）2 中 当 a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当 a, b 中有一个无理数时，则 x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2.某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n2+9, 当 n=4 时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1.在整系数方程 ax2+bx+c=0(a0)中
4、若 b24ac 是完全平方数，则方程有有理数根； 若方程有有理数根，则 b24ac 是完全平方数. 2.在整系数方程 x2+px+q=0 中 若 p24q 是整数的平方，则方程有两个整数根； 若方程有两个整数根，则 p24q 是整数的平方.二、例题二、例题 例 1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数. 证明：设五个连续整数为 m2, m1, m, m+1, m+2. 其平方和为 S. 那么 S（m2）2（m1）2m2（m+1）2（m+2）2 5（m2+2）.m2的个位数只能是 0，1，4，5，6，9 m2+2 的个位数只能是 2，3，6，7，8，1 m2+2 不能被 5 整除. 而 5
5、（m2+2）能被 5 整除， 即 S 能被 5 整除，但不能被 25 整除. 五个连续整数的平方和不是完全平方数.例 2 m 取什么实数时， （m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式？ 解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当时， （m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式 010 m=0，即（2m）24(m1)(3m2)=0. 解这个方程， 得 m1=0.5, m2=2. 解不等式 m10 ， 得 m1.即 125 . 0 mmm或它们的公共解是 m=2. 答：当 m=2 时， （m1）x2+2mx+3m2 是完全平方式. 例 3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c
6、)+(x+c)(x+a)是完全平方式. 求证： a=b=c. 证明：把已知代数式整理成关于 x 的二次三项式，得 原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc 它是完全平方式， 0.即 4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0, (ab)2+(bc)2+(ca)2=0. 要使等式成立，必须且只需：000accbba解这个方程组，得 a=b=c. 例 4. 已知方程 x25x+k=0 有两个整数解，求 k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，是完全平方数. 可设= m2 (m 为整数)， 即（5）24k=m2 (
7、m 为整数)，解得，k=.4252m k 是非负整数， 的倍数是42502522mm由 25m20， 得 ， 即5m5；5m由 25m2是 4 的倍数，得 m=1, 3, 5.以 m 的公共解1, 3, 5，分别代入 k=.4252m求得 k= 6, 4, 0. 答：当 k=6, 4, 0 时，方程 x25x+k=0 有两个整数解 例 5.求证：当 k 为整数时，方程 4x2+8kx+(k2+1)=0 没有有理数根.证明： （用反证法）设方程有有理数根，那么是整数的平方. （8k）216(k2+1)16（3k21）. 设 3k21m2 (m 是整数). 由 3k2m21，可知 k 和 m 是一
8、奇一偶， 下面按奇偶性讨论 3k2m21 能否成立. 当 k 为偶数，m 为奇数时， 左边 k2是 4 的倍数，3k2也是 4 的倍数； 右边 m2除以 4 余 1，m21 除以 4 余 2. 等式不能成立.； 当 k 为奇数，m 为偶数时， 左边 k2除以 4 余 1，3k2除以 4 余 3 右边 m2是 4 的倍数，m21 除以 4 余 1 等式也不能成立. 综上所述，不论 k, m 取何整数，3k2m21 都不能成立.3k21 不是整数的平方， 16（3k21）也不是整数的平方. 当 k 为整数时，方程 4x2+8kx+(k2+1)=0 没有有理数根 三、练习三、练习 1.如果 m 是整
9、数，那么 m2+1 的个位数只能是. 2.如果 n 是奇数，那么 n21 除以 4 余数是，n2+2 除以 8 余数是，3n2除以 4 的余数是. 3.如果 k 不是 3 的倍数，那么 k21 除以 3 余数是. 4.一个整数其中三个数字是 1，其余的都是 0，问这个数是平方数吗？为什么？ 5.一串连续正整数的平方 12，22，32，1234567892的和的个位数是. （1990 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题） 6.m 取什么值时，代数式 x22m(x4)15 是完全平方式？ 7.m 取什么正整数时，方程 x27x+m=0 的两个根都是整数？ 8.a, b, c 满足什么条件时
10、,代数式(cb)x2+2(ba)x+ab 是一个完全平方式？ 9.判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数： 四个连续整数的积； 两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上 38 或减去 138 都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数是平方数，试求 a, b.aabb12. 已知：n 是自然数且 n1. 求证：2n1 不是完全平方数. 13. 已知：整系数的多项式 4x4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方数，求整数 a 和 b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程 x2abx+(a+b)=0 的自然数解.21(1990 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基
11、赛题)练习题参考答案练习题参考答案1. 1，2，5，6，7，0 2. 0，3，3 3. 0 4.不是平方数，因为能被 3 整除而不能被 9 整除 5.5。因为平方数的个位数是 （14965694+1+0）12345678（14965694+1） 即个位数为 585 6.3，5 7. 12，10，6 8. a=b,a=c 且 cb 9. 都不是10. 1987 A2B2176222211 2213838BxAx BABA11. 7744（882）. 是平方数， a+b 是 11 的倍数 baaabb011可从中检验，得出答案. 92 56 47 38 29 ba ba ba ba baL12用反证法，设 2n1=A2,A 必是奇数， 设 A2k+113 612 ba 612 ba14 x1=1, x2=2 31 ba
