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1、1995年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试 一、选择题 1已知a355,b444,c533,则有 AabcBcba Ccab DacbA1B2 C3 D4 3如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作为一个三角形的三 边之长，那么实数m的取值范围是4如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此 圆的周长为 A62B63 C64 D65 5设AB是O的一条弦，CD是O的直径，且与弦AB相交，记 MSCABSDAB，N2SOAB，则 AMN BMN CMN DM、N的大小关系不确 定 6设实数a、b满足不等式a(ab)a|ab，则 Aa0且b0Ba0且b0 C
2、a0且b0 Da0且b0 二、填空题 1在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有_ 个。4以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且 OC2ACBC，则CAB_第二试一、已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经 A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证F为CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数理由。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质 的自然数之和。1995年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案第一试 一、选择题 1讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较 指数，或化为同指数然
3、后比较底数，本题是化为同指数，有 c(53)1112511 24311(35)11a 25611(44)11b。选C。 利用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优 越性。 2讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z1,进而可求 出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程组直接判断：因为xy(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解， 对照选择支，选B。 3讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1x221。 三根能作为一个三角形的三边，须且只须x1x21又有044m14讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存 在
4、且唯一又由AB2AD2 252602 52（52122） 52132 (3242)132 392522 BC2CD2 故可取BD65为直径，得周长为65，选D 5讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些 考生的理由是错误的比如有的考生取AB为直径，则MN0，于是 就选B其实，这只能排除A、C，不能排除D不失一般性，设CEED，在CE上取CFED，则有OFOE，且SACESADESAEF2SAOE同理，SBCESBDE2SBOE相加， 得SABCSDAB2SOAB，即MN选B若过C、D、O分别作AB的垂线（图3） ， CEAB、DFAB、OLAB，垂足分别为E、F、L连CF、DE，
5、可 得梯形CEDF又由垂径分弦定理，知L是EF的中点根据课本上做过的 一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半， 有 CEDF2OL即MN选B 6讲解：取a-1、b2可否定A、C、D，选B一般地，对已知 不等式平方，有 a(ab)aab 显然a(ab)0（若等于0，则与上式矛盾） ，有两边都只能取1或-1，故只有1-1，即有a0且ab0，从而b-a0选B 二、填空题 1讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能 力经计算12，22，102，知十位数字为奇数的只有 4216，6236然后，对两位数10ab，有 （10ab）220a（5ab)b2 其十位数字为b2的十位
6、数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也 中有b4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在 1，2，95中个位数出现了几次4或6，有29119 2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将 a2a作为整体代入这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵 活比如，由有由，得由并将代入，得还可由得即得所求 3讲解：这个题目是将二次函数yx2x与反比例函数因而x1时，y有最小值1 4讲解：此题由笔者提供，原题是求sin CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值 sin75、sin15解法如下：与AB2AB2AC2 联立，可
7、推出而式、表明，AB、AC是二次方程改为求CAB之后，思路更宽一些如，由第二试一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是： 在直角ABC中，斜边BC上的高，过ABD的内心与ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，ABC和AKL的面积分别记为S和 T求证S2T在这个题目的证明中，要用到AK ALAD 今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AKALAD(斜边上的 高)，再求证KL通过ABD、ADC的内心（图7） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连 FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的 垂线，然后证明其中两条垂线段相等下
8、面是几个有代表性的证法证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CDCB，知 FBDCBD45 CDB45FDB， 得FBFD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上， 从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是ECD的平分线 由于F是CDE上两条角平分线的交点，因而就是CDE的内心 证法2：同证法1，得出CDF459045FDE之后， 由于ABC=FDE，故有B、E、D、F四点共圆连EF，在证得 FBD=FDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB，即EF是 CED的平分线 本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点 共圆把许多已知信息集中并转移到E
9、上来了，因而证法2并不比证法1复 杂 由这个证明可知，F是DCB的外心证法4：如图8，只证CF为DCE的平分线由 AGCGBAGAB452， AGC=ADC=CAD=CAB+1 =45+1 得12 从而DCFGCF， 得CF为DCE的平分线 证法5：首先DF是CDE的平分线，故 CDE的外心I在直线DF上现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CACBCDd,则直线AB是一次函数 y-xd 的图象（图9） 若记内心I的坐标为（x1，y1） ，则 x1y1CHIH CHHBCBd 满足，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点由交点的 唯一性知I就是F，从而证得F为RtCDE的内
10、心 还可延长ED交O于P1，而CP为直径来证 二、讲解：此题的原型由笔者提供题目是：于第一象限内，纵坐标小于 横坐标的格点 这个题目的实质是解不等式求正整数解直接解，数字较繁但有巧法，由及1yx， 知12(x1)199512x 但1953126219951262632016，得x63， 从而y21，所求的格点为(21，63)经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算有x2x1810x 当x0时，有x211x180， 得2x9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);当x0时，有 x29x180， 得-6x-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：
11、 (-6,6),(-3,3)对x0，取x2,4,7,9,12,14,顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、 (9，9)，且当x9时，由对x-x，再无满足yx的解 故一共有6个整点，图示略 解法3：先找满足条件yx的整点，即分别解方程 x211x180 x29x180 可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3) 再找满足yx的整点，这时 2x9或-6x-3， 依次检验得(4，3)、(7，6)故共有6个整点 三、讲解：直观上可以这样看，当n6时，在2，3，n2中，必有 一个数A与n互质(2An2)，记 BnA2， 有nAB 此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d1，则d也是n的约数， 从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾 但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况， 把它具体找出来 (1)当n为奇数时，有 n2(n2)，(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有
