《2017高中数学人教A必修1第二章2.3 幂函数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017高中数学人教A必修1第二章2.3 幂函数（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.32.3 幂函数幂函数1幂函数的概念 (1)概念：一般地，函数 yx叫做幂函数，其中 x 是自变量， 是常数 (2)特征 特征Error! 只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数对于形如 y(3x) ，y2x，yx5等形式的函数都不是幂函数【例 11】下列函数是幂函数的是( ) Ay5x Byx5 Cy5x Dy(x1)3 解析：解析：函数 y5x是指数函数，不是幂函数；函数 y5x 是正比例函数，不是幂函数；函数 y(x1)3的底数不是自变量 x，不是幂函数；函数 yx5是幂函数答案：答案：B 辨误区辨误区 指数函数与幂函数的区别 函数名称解析式解析式特征指数函数来源:yax(a0，且a
2、1)底数是常数，自变量在指数位置上幂函数yx(R)指数是常数，自变量在底数位置上【例 12】已知函数 f(x)(m22m2)xm2m1 是幂函数，则 m_ 解析：解析：由题意知，若 f(x)为幂函数，则 m22m21即 m22m30，解得 m1 或 m3答案：答案：1 或3 2幂函数的图象与性质(1)幂函数 yx，yx2，yx3，yx1的图象1 2yx(2)幂函数 yx，yx2，yx3，yx1的性质1 2yxyxyx2yx31 2yxyx1图 象来源: 定 义 域RRR0，)(，0)U (0，)值 域R0，)R0，)(，0)U (0，) 奇 偶 性奇函数偶函数奇函数非奇非 偶函数奇函数单 调
3、 性在(， )上单 调递增在(，0 上单调递减， 在(0，) 上单调递增在(， )上单 调递增在0，) 上单调递增在(，0) 上单调递减，来源: 在(0，) 上单调递减 定 点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)(3)幂函数 yx在第一象限的特征 的范围过定点单调性 1下凸递增0来源:01(0,0)， (1,1)上凸递增 0(1,1)递减，且以两坐标轴为渐近线点技巧点技巧 巧记幂函数的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横” ，即 0(1)时的图象是抛物线型(1 时的图象是竖直抛物线型，01 时的
4、图象是横卧抛物线型)，0 时的图象是双曲线型【例 21】下列结论中，正确的是( ) A幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B幂函数的图象可以出现在第四象限C当幂指数 取 1,3，时，幂函数 yx是增函数1 2 D当幂指数 1 时，幂函数 yx在定义域上是减函数 解析：解析：当幂指数 1 时，幂函数 yx1的图象不通过原点，故选项 A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，且 yx(R)，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项 B 不正确；当 1 时，yx1在区间(，0)和(0，)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项 D 不正确答案：答案：C【例 22】
5、幂函数 yx2，yx1，在第一象限内的图象依次是图中1 3yx1 2yx 的曲线( )AC2，C1，C3，C4 BC4，C1，C3，C2 CC3，C2，C1，C4 DC1，C4，C2，C3 解析：解析：由于在第一象限内直线 x1 的右侧时，幂函数 yx的图象从上到下相应的指数 由大变小，故幂函数 yx2在第一象限内的图象为 C1，同理，yx1在第一象限内的图象为 C4，在第一象限内的图象为 C2，在第一象限内的图象为 C31 3yx1 2yx 答案：答案：D 【例 23】下列六个函数：，yx2，yx2其中定义域为 R 的函数有( )5 3yx3 4yx1 3yx2 3yx A2 个 B3 个
6、C4 个 D5 个解析：解析：函数，故其定义域为 R；函数，故其定义域为5 353yxx3 344yxx0，)；函数，故其定义域为(，0)(0，)；函数，1 3 31yxxU2 323yxx故其定义域为 R；函数 yx2的定义域为(，0)(0，)；函数 yx2的定义21 xU域为 R所以定义域为 R 的函数有 3 个，应选 B 答案：答案：B 点技巧点技巧 求幂函数定义域的方法 幂函数的定义域随 的取值不同而不同，求幂函数的定义域时可分四种情况： 为正整数； 为负整数； 为正分数； 为负分数若是分数指数型幂函数应先化为根式，再由根式的性质求定义域3利用待定系数法求幂函数的解析式及函数值幂函数的
7、解析式 yx中仅含有一个常数 ，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析 式，这样的条件往往是已知 f(m)n 或图象过点(m，n)等等通常利用待定系数法求解， 设出幂函数的解析式为 f(x)x，利用已知条件列方程求出常数 的值 利用待定系数法求幂函数的解析式时，常常遇到解方程，比如 mn，这时先把 n 化 为以 m 为底数的指数幂形式 nmk，则解得 k还可以直接写出 logmn，再利用对数 的运算性质化简 logmn例如，解方程，由于62，所以 2当然，也可以直接写出16361 36，再利用对数的运算性质得 log662261log36【例 31】幂函数 f(x)的图象过点，则 f(3)_12
8、,4解析：解析：设 f(x)x，则，所以 212421log4所以 f(x)x2所以 f(3)321 9答案：答案：1 9 【例 32】已知幂函数 f(x)xm2m2(mZ)是偶函数，且在(0，)上是减函数， 求函数 f(x)的解析式 解：解：f(x)xm2m2(mZ)是偶函数，m2m2 为偶数又f(x)xm2m2(mZ)在(0，)上是减函数， m2m20，即1m2mZ，m0 或 m1 当 m0 时，m2m22 为偶数，当 m1 时，m2m22 为偶数 f(x)的解析式为 f(x)x2 点技巧点技巧 根据性质求幂函数解析式的方法 根据幂函数的性质确定指数 m2m20是解题的关键，通过缩小范围，
9、结合 mZ，得到 m 的一组值，但未必都满足函数是偶函数，因此，需对 m 的值逐个检验4幂的大小比较 对于幂的大小比较问题，需搞清底数与指数是否相同，若底数相同可利用指数函数的 单调性，若指数相同可利用幂函数的单调性，若两者都不同，可选取适当的中间变量，常 用的中间变量有 0,1 或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂 列表如下： 分类考查对象方法 底数相同，指数不同与1xa2xa利用指数函数 yax的单调性 指数相同，底数不同x1与 x2利用幂函数 yx的单调性 底数、指数都不同与1xa2xb寻找中间变量 0,1 或 bx1或 ax2 【例 4】比较下列各组数的大小(1)和；(2)30.8
10、和 30.7；(3)和；5 235 23.17 887 81 9(4)和；(5)，和1 221 31.82 54.12 33.83 5( 1.9)解：解：(1)函数在(0，)上为减函数，5 2yx又 33.1，55 2233.1(2)函数 y3x是增函数，30.830.7(3)，函数在(0，)上为增函数，7788188 7 8yx又，从而118977 8811897788181.8 1.811 322 1.8(5)，22223 553354.1 11,00a a 成立；(2)当时，必有 a132a，即解得；10, 32 0a a 10, 32 0, 132 ,a a aa 23 32a(3)当
11、时，必有 a132a，即此不等式组无10, 320a a 10, 320, 132 ,a a aa 解综上可得，实数 a 的取值范围是 a1 或23 32a辨误区辨误区 误用性质出现的错误 本题极易出现认为函数在(，0)和(0，)上为减函数，则函数必在定义域上为减函数的错误故需分底数一个大于 0，另一个小于 0，底数都小于 0，底数都大于 0 三种情况讨论6幂函数图象的应用 在解决有些问题时，利用幂函数的图象 和性质可以起到化繁为简、化难为易的效果 例如，设 x(0,1)时，函数 yxp的图象在直线 yx 的上方，求 p 的取值范围 解：解：我们可以在第一象限内作出 p1，0p1，p0 时幂函
12、数的图象，根据图象求解，如图所示显然，当 x(0,1)时，函数 yxp的图象在直线 yx 的上方的是 0p1 和 p0 两种情况，故 p 的取值范围是(，0)(0,1)U【例 6】点(，2)在幂函数 f(x)的图象上，点在幂函数 g(x)的图象上，则当212,4 x 为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x) 分析：分析：设出幂函数的解析式，利用待定系数法求出函数 f(x)和 g(x)的解析式，再利用图象判断即可解：解：设 f(x)x，由题意，得，于是 2，即 f(x)x22( 2)设 g(x)x，由题意，得(2)，于是 2，即 g(x)x21 4 在同一平面直角坐标系中作出函数 f(x)与 g(x)的图象，如图所示由图象可知：(1)当 x1 或 x1 时，f(x)g(x)；(2)当 x1 时，f(x)g(x)；(3)当1x1 且 x0 时，f(x)g(x)
