《2017秋沪科版数学九上21.3《二次函数与一元二次方程》教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017秋沪科版数学九上21.3《二次函数与一元二次方程》教案（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程教学目标教学目标 1理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交点个数、掌握方程 与函数间的转化 2会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解 3探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法 教学重难点教学重难点 探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与 x 轴交点情况，利用二次函 数的图象求一元二次方程的近似根；函数方程x 轴交点，三者之间的关系的理解与运 用 教学过程教学过程 导入新课导入新课 出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：答：1x 为何值时，y0? 2你能根据图象，求方程 x22x30
2、的根吗？ 3函数 yx22x3 与方程 x22x30 之间有何关系呢？ 推进新课推进新课 一、合作探究 【问题 1】 画出函数 yx23x2 的图象，根据图象回答下列问题 (1)图象与 x 轴交点的坐标是什么？ (2)当 x 取何值时，y0？这里 x 的取值与方程 x23x20 有什么关系？ (3)你能从中得到什么启发？ 教学设计： 1.先让学生回顾函数 yax2bxc 图象的画法，按列表、描点、连线等 步骤画出函数 yx23x2 的图象 2教师巡视，与学生合作、交流 3教师讲评，并画出函数图象 4教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与 x 轴交点的坐标分 别是(1,0)和
3、(2,0) 5让学生完成(2)的解答教师巡视指导并讲评 6对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流， 达成共识：从“形”的方面看，函数 yx23x2 的图象与 x 轴交点的横坐标，即为方程 x23x20 的解；从“数”的方面看，当二次函数 yx23x2 的函数值为 0 时，相应 的自变量的值即为方程 x23x20 的解更一般地，函数 yax2bxc 的图象与 x 轴 交点的横坐标即为方程 ax2bxc0 的解；当二次函数 yax2bxc 的函数值为 0 时， 相应的自变量的值即为方程 ax2bxc0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方 程的关系 【问题
4、2】 画出二次函数 yx22x，yx22x1，yx22x2 的图象，并根据图 象观察： (1)每个图象与 x 轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x22x0，x22x10，x22x20 各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？ 二次函数 yax2bxc 的图象和 x 轴交点有三种情况： 有两个交点；有一个交点；没有交点 当二次函数 yax2bxc 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y0 时自变 量 x 的值，即一元二次方程 ax2bxc0 的根 二次函数 yax2bxc 的图象和 x 轴交点的个数与一元二次方程 ax2bxc0 根的 关系：二次函数 yax2bxc 的图 象
5、与 x 轴交点一元二次方程 ax2bxc0 的根一元二次方程 ax2bxc0 的根的判别式 b24ac 有两个交点有两个相异实数根b24ac0 有一个交点有两个相等实数根b24ac0 没有交点没有实数根b24ac0 【问题 3】 根据问题 1 的图象回答下列问题： (1)当 x 取何值时，y0？当 x 取何值时，y0? 当2x1 时，y0；当 x2 或 x1 时，y0. (2)能否用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题？ 能用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题，即 x23x20 的解集是什么？ x23x20 的解集是什么？ 【问题 4】 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？ 让学
6、生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数 yax2bxc 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标， 即为一元二次不等式 ax2bxc0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元 二次不等式 ax2bxc0 的解 (2)从“数”的方面看，当二次函数 yax2bxc 的函数值大于 0 时，相应的自变量 的值即为一元二次不等式 ax2bxc0 的解；当二次函数 yax2bxc 的函数值小于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax2bxc0 的解这一结论反映了二次函 数与一元二次不等式的关系 【问题 5】 利用函数 yx22x2 的图
7、象，求方程 x22x20 的实数根(精确到 0.1)来 分析：分析：用描点法画函数 yx22x2 的图象，图象要求尽可能准确(如图)方法一：确定抛物线与 x 轴的两个交点的位置，估计方程 x22x20 两根的范围 观察图象，x10.7 时，y 的值最接近于 0；x22.7 时，y 的值最接近于 0.从而估计 方程的根为 x10.7，x22.7. 方法二：观察图象发现，当自变量为 2 时，函数值小于 0；当自变量为 3 时，函数值 大于 0，抛物线是一段连续曲线，所以在 2 和 3 之间的某个值，函数值为 0，即在 2 和 3 之 间有根 采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定
8、符合条件的近似根： 将 2.5 代入函数中，函数值小于 0，所以方程在 2.5 与 3 之间有一个根；将 2.75 代入函数中， 函数值大于 0，所以方程在 2.5 与 2.75 之间有一个根；最后确定这个根大约是 2.7. 采用同样的方法，确定另一个根大约是0.7. 点拨：点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度故教师应多指导，理清思路二、应用示例 【例 1】 如图所示，(1)一元二次方程x22x30 的根是多少？ (2)一元二次方程x22x33 的根是多少？ (3)不等式x22x33 的解集是什么？ (4)一元二次方程x22x3k 有两个根，则 k 的取值范围是什么？
9、解：解：根据图象知：(1)方程x22x30 的两根为 x11，x23.(2)方程x22x33 的两根为 x10，x22.(3)不等式x22x33 的解集是 0x2.(4)k 的取值范围是 k4.点评：点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【例 2】 已知抛物线 yx2(2k1)xk2k. (1)求证：此抛物线与 x 轴有两个不同的交点； (2)当 k0 时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标 分析：分析：(1)证明方程 x2(2k1)xk2k0 有两个不相等的实数根即可(2)通过解方程，求值即可点拨：点拨：(1)注意利用 b24ac 的值二次方程 ax2bxc0 的根的情况
10、判断yax2bxc 与 x 轴交点的个数判断(2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法三、巩固提高 1抛物线 yx22kx2 与 x 轴交点的个数有( ) A0 个 B1 个C2 个 D以上都不对 2小强从如图所示的二次函数 yax2bxc 的图象中，观察得出了下面五条信息： (1)a0；(2)c1；(3)b0；(4)abc0；(5)abc0.你认为其中，正确信息的个数有( ) A2 个 B3 个C4 个 D5 个 3若抛物线 yax2bx3 与 yx23x2 的两交点关于原点对称，则 a、b 分别 为_ 4如图所示，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴的两个交点分别为 A(1,0)和 B(2,0
11、)， 当 y0 时，x 的取值范围是_5抛物线 yx26x8 与 x 轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程 x26x80 的根 6已知关于 x 的函数 yax2x1(a 为常数) (1)若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值； (2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围 本课小结本课小结 1所学知识：(1)二次函数 yax2bxc(a0)与二次方程之间的关系当 y 为某一 确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax2bxcm 的根 (2)若抛物线 yax2bxc 与 x 轴的交点为(x0,0)，则 x0是方程 ax2bxc0 的根 (3)
12、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 2思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程 ax2bxc0 实际上是二次函数 yax2bxc 中 y0 时的一种特殊 情况可列表如下：开口方向判别式二次函数图象二次函数 yax2bxc 与 x 轴的交点个数一元二次方程 ax2bxc0 的根 的情况0有两个交点有两不等实根 x1，x20有一个交点有两相等实根 x1x2a00没有交点无实根a00有两个交点有两不等实根 x1，x20有一个交点有两相等实根 x1x20没有交点无实根奥赛链接 已知点 A，B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)若二次函数 yx2(a3)x3
13、的图象与线段 AB 恰有一个交点，则 a 的取值范围是_ 解析：解析：分两种情况：(1)因为二次函数 yx2(a3)x3 的图象与线段 AB 只有一个交点，且点 A，B 的坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以12(a3)1322(a3)230.解得1a.1 2由 12(a3)130，得 a1，此时 x11，x23，符合题意；由 22(a3)230，得 a，此时 x12，x2，不符合题意1 23 2 (2)令 x2(a3)x30，由判别式 0，得 a3.2 3当 a3时，x1x2，不合题意；当 a3时，x1x2，符合2 332 33题意综上所述，a 的取值范围是1a或 a3.1 22 3答案：答案：1a或 a31 22 3
