《高中数学（北师大版）选修1-1教案：第2章 知识点拨：椭圆与双曲线的经典性质及法则》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（北师大版）选修1-1教案：第2章 知识点拨：椭圆与双曲线的经典性质及法则（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）（必背的经典结论）椭椭 圆圆1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.000(,)P xy22221xy ab0P00 221x xy y ab6.若在椭圆外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为000(,)P xy22221xy abP1、P
2、2，则切点弦 P1P2的直线方程是.00 221x xy y ab7.椭圆 (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一22221xy ab点，则椭圆的焦点角形的面积为.12FPF 122tan2F PFSb8.椭圆（ab0）的焦半径公式：22221xy ab,( , ).10|MFaex20|MFaex1(,0)Fc2( ,0)F c00(,)M xy9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,
3、A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为 AB 的中点，则22221xy ab),(00yx，22OMABbkka 即。0202yaxbKAB12. 若在椭圆内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是000(,)P xy22221xy ab.22 0000 2222x xy yxy abab13. 若在椭圆内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是000(,)P xy22221xy ab.22 00 2222x xy yxy abab双曲线双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点
4、 P 处的内角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的000(,)P xy22221xy ab0P切线方程是.00 221x xy y ab6.若在双曲线（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的000(,)P xy22221xy ab两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是.00 221x xy y
5、ab7.双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双22221xy ab曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为12FPF. 122t2F PFSb co8.双曲线（a0,bo）的焦半径公式：( , 22221xy ab1(,0)Fc2( ,0)F c当在右支上时，,.00(,)M xy10|MFexa20|MFexa当在左支上时，,00(,)M xy10|MFexa 20|MFexa 9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线
6、一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则MFNF.11. AB 是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M22221xy ab为 AB 的中点，则，即。),(00yx0202yaxbKKABOM0202yaxbKAB12. 若在双曲线（a0,b0）内，则被 Po 所平分的中000(,)P xy22221xy ab点弦的方程是.22 0000 2222x xy yxy abab13. 若在双曲线（a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的000(,)P xy22221xy ab轨迹方程是.2
7、2 00 2222x xy yxy abab椭圆与双曲线的对偶性质椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）（会推导的经典结论）椭椭 圆圆1.椭圆（abo）的两个顶点为,，与 y 轴平22221xy ab1(,0)Aa2( ,0)A a行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xy ab2.过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补22221xy ab00(,)A xy的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2 0 2 0BCb xka y3.若 P 为椭圆（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是22221xy
8、ab焦点, , ，则.12PFF21PF Ftant22accoac4.设椭圆（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）22221xy ab为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,12FPF12PFF，则有.12FF Psin sinsincea 5.若椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为22221xy abL，则当 0e时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准21线距离 d 与 PF2的比例中项.6.P 为椭圆（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内22221xy ab一定点，则,当且仅当三点共2112| | 2|aAFPAPFaAF
9、2,A F P线时，等号成立.7.椭圆与直线有公共点的充要条件22 00 22()()1xxyy ab0AxByC是.22222 00()A aB bAxByC8.已知椭圆（ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动22221xy ab点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最OPOQ22221111 |OPOQab大值为;（3）的最小值是.22224a b abOPQS2222a b ab9.过椭圆（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N22221xy ab两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则.| |2PFe MN10. 已知椭圆（ ab0）,A、B、是椭
10、圆上的两点，线段 AB22221xy ab的垂直平分线与 x 轴相交于点, 则.0(,0)P x22220ababxaa11. 设 P 点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F222221xy ab为其焦点记，则(1).(2) .12FPF2122|1 cosbPFPF1 22tan2PF FSb12. 设 A、B 是椭圆（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的22221xy ab一点，, ,，c、e 分别是椭圆的半焦距离PABPBABPA心率，则有(1).(2) .(3) 22222|cos|sabPAac co 2tantan1 e .22222cotPABa bSba13.
11、已知椭圆（ ab0）的右准线 与 x 轴相交于点，过椭22221xy ablE圆右焦点的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点在右准线 上，且FCl轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.BCx14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非
12、焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线双曲线1.双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，22221xy ab1(,0)Aa2( ,0)A a与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是.22221xy ab2.过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾22221xy ab00(,)A xy斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且（常数）.2 0 2 0BCb xka y 3.若 P 为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的22221xy ab任一点,F1, F 2是焦点, ,
13、 ，则12PFF21PF F（或）.tant22cacocatant22cacoca4.设双曲线（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长22221xy ab轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, 12FPF,，则有.12PFF12FF Psin (sinsin)cea 5.若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左22221xy ab准线为 L，则当 1e时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF121是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6.P 为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为22221xy ab双曲线内一定点，则,当且仅当
14、三点21| 2|AFaPAPF2,A F P共线且和在 y 轴同侧时，等号成立.P2,A F7.双曲线（a0,b0）与直线有公共点的22221xy ab0AxByC充要条件是.22222A aB bC8.已知双曲线（ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲22221xy ab线上两动点，且.OPOQ（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;22221111 |OPOQab22224a b ba（3）的最小值是.OPQS2222a b ba9.过双曲线（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的22221xy ab右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则.|
15、|2PFe MN10. 已知双曲线（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线22221xy ab段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点, 则或0(,0)P x220abxa.220abxa 11. 设 P 点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,22221xy abF1、F2为其焦点记，则(1).(2) 12FPF2122|1 cosbPFPF. 1 22cot2PF FSb12. 设 A、B 是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P 是双22221xy ab曲线上的一点，, ,，c、e 分别是双PABPBABPA曲线的半焦距离心率，则有(1).22222|cos|s|abPAac co (2) .(3) .2tantan1 e 22222cotPABa bSba13. 已知双曲线（a0,b0）的右准线
