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1、第 3 课时 综合法与分析法1.结合已经学过的实例,了解直接证明的方法综合法与分析法,知道综合法与分析 法的思考过程和特点. 2.通过对综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽象性、科学性,养成缜密 思维的习惯. 3.通过综合法和分析法的学习,体会这两种方法相辅相成、辩证统一的关系.重点:会用综合法、分析法证明问题,了解综合法、分析法的思考过程. 难点:根据问题的特点,结合综合法、分析法的思考过程及特点,选择适当的证明方法.我们都学过韦达定理.若 x1、x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)的两个根, 则有 x1+x2=-,x1x2=.那么韦达定理要如何证明呢?
2、问题 1:综合法一般地,从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出 所要证明的结论成立,这种证明方法叫 综合法 . 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,从题设到结论的逻辑推理 方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要 求证的命题. 问题 2:分析法的特点分析法的思维特点是执果索因,即从结论逐步挖掘已知. 问题 3:用框图表示综合法与分析法的证明过程(1)综合法可用框图表示为:(用 P 表示已知条件,已有的定义、公理、定理等,Q 表示 所要证明的结论) PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ.(2)若用 Q 表示要证明
3、的结论,分析法可用框图表示为: QP1P1P2P2P3得到一个明显 成立的条件. 问题 4:分析法与综合法的联系与区别 分析法与综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是 顺推 ,二者各有优缺点,分析法容易探路,且探路与 表述 合一,缺点是表述过程容易出错.综合法条理 清晰 ,易于 表述 ,但思路不太好想.因此将二者交互使用,互补优缺点形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件,也就是用 分析法 寻找解题思路,用 综合法 加以表述. 费马大定理,又被称为“费马最后的定理”,由法国数学家费马提出.他断言:当整数 n 2 时,关于 x, y, z 的方程 xn+yn=zn 没有正整
4、数解.该定理被提出后,历经三百多年的历史,最终 在 1995 年被英国数学家安德鲁怀尔斯证明.1.下列说法不正确的是( ). A.综合法是由因导果的顺推证法 B.分析法是执果索因的逆推证法 C.综合法与分析法都是直接证法 D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用 【答案】D 2.已知 m1,a=-,b=-,则以下结论正确的是( ). A.ab B.a=x2,即 x0,f(x)=+是 R 上的偶函数,求 a 的值. 【解析】f(x)是 R 上的偶函数,f(-x)=f(x), (a-)(ex-)=0 对于一切 xR 成立,由此得 a-=0,即 a2=1,又 a0,a=1.综合法的应用如图,
5、在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.(1)证明:CDAE, (2)证明:PD平面 ABE. 【方法指导】解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理,再用定理进行证明. 【解析】(1)在四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,CD平面 ABCD, PACD, ACCD,PAAC=A,CD平面 PAC, 而 AE平面 PAC,CDAE. (2)由 PA=AB=BC,ABC=60,可得 AC=PA, E 是 PC 的中点, AEPC. 由(1)知 AECD, 且 PCCD=C, AE平面 PCD. 而 P
6、D平面 PCD,AEPD, PA底面 ABCD,PAAB,又 ABAD, PAAD=A,AB平面 PAD, ABPD, 又ABAE=A, PD平面 ABE. 【小结】综合法是“由因导果”,它是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未 知的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间 推理,最后导出所要求证结论的真实性.分析法的应用已知 a0,b0,且 a+b=1,试用分析法证明不等式(a+)(b+). 【方法指导】化简不等式可运用分析法证明得出结论. 【解析】要证(a+)(b+), 只需证 ab+, 只需证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+
7、40, 只需证 4(ab)2+4(1-2ab)-25ab+40, 只需证 4(ab)2-33ab+80, 即证 ab8 或 ab, 只需证 ab, 而由 1=a+b2,知 ab显然成立,即原不等式(a+)(b+)成立. 【小结】对于较复杂的不等式,可用分析法使其转化成为简单的不等式或显而易见的不等 式,从而使命题得证.综合法与分析法的综合应用已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1,求证:+. 【方法指导】要证明结论成立,可以证明其对应的平方式成立,可以以此为入手点进行展开.【解析】(法一)分析法 要证+, 只证 a+b+c+2+2+23, 即证 2+2+22, 也就是证+1=a+b+c
8、 .a,b,c 是正实数,2(a+b+c)2(+), a+b+c+,不等式显然成立.+. (法二)综合法a,b,c 是正实数,2(a+b+c)2(+),a+b+c+2(+)3(a+b+c)=3,(+)23,+. 【小结】分析法和综合法是直接证明中的“姊妹”证明方法.两种方法各有优缺点,分析法利于思考,综合法易于表述.因此,在实际解题中,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.设 a1,a2,a3均为正数,且 a1+a2+a3=m,求证:+.【解析】+=(a1+a2+a3)(+)=3+(+)+(+)+(+)(3+2+2+2)=, 当且仅当 a
9、1=a2=a3=时,等号成立.已知 a0,b0,用分析法证明+. 【解析】要证+,只需证 a+b(+)=a+b,即证 a(-)b(-),即证(-)(a-b)0,整理得(-)2(+)0.a0,b0,+0, 即证(-)20,该式显然成立,原不等式+成立.已知 a、b、c(0,+),且 a+b+c=1,求证:(-1)(-1)(-1)8.【解析】(法一)综合法(-1)(-1)(-1)=(-1)(-1)(-1)=8, 当且仅当 a=b=c 时取等号,所以不等式成立.(法二)分析法 要证(-1)(-1)(-1)8 成立,只需证8 成立.因为 a+b+c=1,所以只需证8 成立,即8. 只需证8 成立,而8
10、 显然成立,所以(-1)(-1)(-1)8.1.设集合 A=x|C.|x1-x2| 【解析】要使得|f(x1)-f(x2)|bc;ac(a-c)c,ac0,cb0,求证:-b2+c2D.a2b2+c2【解析】由 cos A=b2+c2.【答案】C2.要证 a2+b2-1-a2b20,只需证( ).A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.()2-1-a2b20 D.(a2-1)(b2-1)0【解析】a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1)0,a2+b2-1-a2b20,故选 D.【答案】D3.+ 2+(用“”或“2,+2+. 【答案】4.求证:当一个圆与一个正方形的周长相等
11、时,这个圆的面积比正方形的面积大. 【解析】设圆和正方形的周长为 L(L0),依题意知圆的面积为 ()2,正方形的面积为()2,因此只需证明 ()2()2,为了证明 ()2()2成立,只需证明,两边同时乘以正数得,因此,只需证明 4,上式显然是成立的,所以 ()2()2,即命题成立.5.设 a、b 是实数,且 a+b=3,则 2a+2b的最小值是( ).A.6 B.4C.2 D.8 【解析】2a+2b2=2=2=4, 当且仅当 a=b=时等号成立.【答案】B6.若 log2log3(log4x)=log3log4(log2y)=log4log2(log3z)=0,则 x+y+z 等于( ).A
12、.123B.105C.89D.58【解析】log2log3(log4x)=0,log3(log4x)=1,log4x=3,x=43=64,log3log4(log2y)=0,log4(log2y)=1,log2y=4,y=16,log4log2(log3z)=0,log2(log3z)=1,log3z=2,z=9,所以 x+y+z=89.【答案】C7.函数 y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中mn0,则+的最小值为 . 【解析】函数 y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图像恒过定点 A(-2,-1),而 A 在直线 m
13、x+ny+1=0上,(-2)m+(-1)n+1=0,即 2m+n=1,mn0, +=(+)(2m+n)=4+4+2=8,当且仅当=,即 m=,n=时取等号.【答案】88.当 a2 时,求证:-0,且 a+bc,设 M=+,N=,则 M 与 N 的大小关系是 . 【解析】a,b,c0,a+bc,M=+=N. 【答案】MN10.设 f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称.求证:f(x+)为偶函数. 【解析】(法一)要证 f(x+)为偶函数,只需证 f(x+)的对称轴为 x=0,只需证-=0,只需证 a=-b.因为函数 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称,即 x=-1 与 x=-关于 y 轴对称,所以-1=-,所以 a=-b,所以 f(x+)为偶函数.(法二)要证 f(x+)是偶函数,只需证 f(-x+)=f(x+).因为 f(x+1)与 f(x)的图像关于 y 轴对称,而 f(x)与 f(-x)的图像关于 y 轴对称,所以 f(-x)=f(x+1),f(-x+)=f-(x-)=f(x-)+1=f(x+),即 f(x+)是偶函数.
