《高一数学人教b版必修3学案：3.2 古典概型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学人教b版必修3学案：3.2 古典概型（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2 古典概型古典概型【入门向导】 “下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大诱惑性的话是大英帝国彩票的广告词，买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要花上 1 英镑，就有可能获得 2 200 万英镑！(1英镑约相当于 13.7 元人民币)但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以大英帝国彩票为例来计算一下大英帝国彩票的规则是 49 选 6，即在 1 至 49 的 49 个号码中选 6 个号码在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出 6 个标有数字的小球，如果 6 个小球的数字都被一个人选中了，那他就获得了头等奖可是，当我们计算一下在 49 个数字中随意组合其中 6 个数字的方法有多少种时，我们会吓一大
2、跳：从 49 个数中选 6 个数的组合有 13 983 816 种方法！这就是说，假如只买一张彩票，六个号码全对的机会大约是一千四百万分之一，这个数大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总理的机会如果一个人每星期买 50 张彩票，那他赢得一次大奖的时间约为 5 000 年；即使每星期买 1 000 张彩票，也大致需要 270 年才中头奖！这几乎是单个人力不可为的1定义 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，它们是试验中不能再分 的最简单的随机事件，一次试验中只能出现一个基本事件，其他事件可以用它们表示 2基本事件的特点 任何两个基本事件是互斥的在一次试验中，只可能出现一种结果，
3、即只产生一个 基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只能出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试 验中同时发生任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和相对于基本事件 而言，由两个以上的基本事件组成的随机事件称为复杂事件 在解决有关古典概型问题中，要认识到基本事件不能再分，不同的基本事件不可能同 时发生判断基本事件时，一定要对照思考其特征，并将所有可能的基本事件一一列举出 来 例 1 连续掷 3 枚硬币，观察落地后这 3 枚硬币正面向上还是反面向上 (1)写出这个试验的基本事件； (2)求这个试验的基本事件的总数； (3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？ 解 (1)这个试验的
4、基本事件是：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)(2)基本事件的总数是 8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下 3 个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)1古典概型的定义如果试验中出现如下特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)； (2)每个基本事件出现的可能性相等(等可能性)具有以上两个特征的概率模型称为古典概 率模型，简称古典概型 2古典概型必须具备两个条件： (1)有限性(即指试验中所有可能发生的基本事件只有有限个)； (2)等可能性(即指每个基本事件发生的可
5、能性相等) 判断一个事件是否为古典概型，同学们只要紧紧抓住这两个条件，即可得出正确结 论 例 2 下列概率模型： (1)从区间1,10内任意取出一个实数，求取到实数 2 的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； (3)从 1,2,3，100 这 100 个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率 其中是古典概型的是_ 解析 (1)不是古典概型，因为在区间1,10中有无穷多个实数，取出一个实数有无穷多种结果，即有无穷多个基本事件，不满足古典概型定义中“基本事件只有有限个”的条件(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，不满足古典概型定义中
6、“每个基本事件出现的可能性相等”的条件(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果的个数有限(100 个)，而且每个整数被抽到的可能性相等故填(3)答案 (3)例 任意投掷两枚骰子，计算： (1)“出现的点数相同”的概率； (2)“出现的点数之和为奇数”的概率； (3)“出现的点数之和为偶数”的概率错解 (1)点数相同是指同为 1 点，2 点，6 点，其中之一的概率是 .16(2)点数之和为奇数，可取 3、5、7、9、11 共 5 种，所以“出现的点数之和为奇数”的概率为.556511(3)点数之和为偶数，可取 2、4、6、8、10、12 共 6 种，所以“点数之和为偶数”的概率为.611
7、正解 (1)任意投掷两枚骰子，可看成等可能事件，其结果可表示为数组(i，j)(i，j1,2，6)，其中两个数 i，j 分别表示两枚骰子出现的点数，共有 6636 种结果，其中点数相同的数组为(i，j)(ij1,2，6)共有 6 种结果，故“出现的点数相同”的概率为 .63616(2)由于每个骰子上有奇、偶数各 3 个，而按第 1、第 2 个骰子的点数顺次写时，有(奇，奇)、(奇，偶)、(偶，奇)、(偶，偶)这四种等可能结果，所以“其和为奇数”的概率为 P .2412(3)由于骰子各有 3 个偶数，3 个奇数，因此“点数之和为偶数” 、 “点数之和为奇数”这两个结果等可能，且为对立事件，所以“点
8、数之和为偶数”的概率为 P1P(“点数之和为奇数”)1 .1212解决古典概型问题的关键是分清基本事件总数 n 与事件 A 中包含的结果数 m，而这往 往会遇到计算各类基本事件个数的困难因此，学习中有必要掌握一定的求解技巧 1直接列举 把事件所有发生的结果逐一列举出来，然后再进行求解 例 1 袋中有 6 个球，其中 4 个白球，2 个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的 概率： (1)事件 A：取出的两球都是白球； (2)事件 B：取出的两球一个是白球，另一个是红球 分析 首先直接列举出任取两球的基本事件的总数，然后分别列举求出两个事件分别含有的基本事件数，再利用概率公式求解解 设 4 个白
9、球的编号为 1,2,3,4,2 个红球的编号为 5,6.从袋中的 6 个小球中任取 2 个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2，6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种(1)从袋中的 6 个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从 4 个白球中任取两个的方法总数，共有 6 个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)取出的两个球全是白球的概率为 P(A) .61525(2)从袋中的 6 个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白
10、球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共 8 种取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B).815 2逆向思维 对于较复杂的古典概型问题，若直接求解有困难时，可利用逆向思维，先求其对立事 件的概率，进而再求所求事件的概率 例 2 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个 5 点或 6 点的概率分析 直接求解，运算较繁，而利用对立事件求概率则很简捷解 至少有一个 5 点或 6 点的对立事件是：没有 5 点或 6 点因为没有 5 点或 6 点的结果共有 16 个，而抛掷两枚骰子的结果共有 36 个，所以没有 5 点或 6 点的
11、概率为P .163649故至少有一个 5 点或 6 点的概率为 1 .4959 3活用对称性 例 3 有 A、B、C、D、E 共 5 人站成一排，A 在 B 的右边(A、B 可以不相邻)的概率 是多少？ 解 由于 A、B 可以不相邻，A 在 B 的右边和 B 在 A 的右边的总数是相等的，且 A 在B 的右边的排法数与 B 在 A 的右边的排法数组成所有基本事件总数，所以 A 在 B 的右边的概率是 .12考题赏析 1(2011徐州模拟)一个骰子连续投 2 次，点数和为 4 的概率为_ 解析 骰子连投两次，基本事件共 6636(个)，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)，共 3
12、 个，故 P.36 6112答案 112 2(2011汉中调研)已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方 法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随 机数，指定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三 次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A0.35
13、B0.25 C0.20 D0.15 解析 由题意知在 20 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393 共 5 组随机数，故所求概率为 0.25.52014 答案 B 3(2011济宁模拟)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机 摸取 3 次，每次摸取一个球 (1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； (2)若摸到红球时得 2 分，摸到黑球时得 1 分，求 3 次摸球所得总分为 5 的概率 解 (1)一共有 8 种不同的结果，列举如下：(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、(黑，红，红)、(黑，红
14、，黑)、(黑，黑，红)、(黑，黑，黑)(2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A.事件 A 包含的基本事件为：(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红)，事件 A 包含的基本事件数为 3.由(1)可知，基本事件总数为 8，所以事件 A 的概率为 P(A) .38 4(2009天津)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A，B，C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查已知 A，B，C 区中分别有 18,27,18 个工厂 (1)求从 A，B，C 区中应分别抽取的工厂个数； (2)若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个 工
15、厂中至少有 1 个来自 A 区的概率解 (1)工厂总数为 18271863，样本容量与总体中的个体数比为 ，所以从76319A，B，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2.(2)设 A1，A2为在 A 区中抽得的 2 个工厂，B1，B2，B3为在 B 区中抽得的 3 个工厂，C1，C2为在 C 区中抽得的 2 个工厂，在这 7 个工厂中随机抽取 2 个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1
16、)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有 21 种随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区的结果(记为事件 X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有 11 种，所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 P(X).1121 5(2011天津)编号分别为 A1，A2，A16的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的 得分记录如下： 运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8 得分1535212825361834 运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A1
