《苏教版选修1-2高中数学2.1.1《合情推理》word学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版选修1-2高中数学2.1.1《合情推理》word学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、21 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理21.1 合情推理合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用知识链接1归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2由合情推理得到的结论可靠吗？答 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了预习导引1归纳推理(1)定义：从个别事实
2、中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理归纳推理的思维过程大致是实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)归纳推理的特点：归纳推理是从特殊到一般的推理；由归纳推理得到的结论不一定正确；归纳推理是一种具有创造性的推理2类比推理(1)类比推理的定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法(2)类比推理的思维过程：观察、比较联想、类推猜测新的结论3合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理要点一 归纳推理的应用
3、例 1 观察如图所示的“三角数阵”1第 1 行 2 2第 2 行 3 4 3第 3 行 4 7 7 4第 4 行 51114115第 5 行 记第 n(n1)行的第 2 个数为 an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第 6 行的 6 个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)依次写出 a2、a3、a4、a5；(3)归纳出 an1与 an的关系式解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数(1)6,16,25,25,16,6(2)a22，a34，a47，a511(3)a3a22，a4a33，a5a44
4、由此归纳：an1ann.规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解跟踪演练 1 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的通项公式(1)a13，an12an1；(2)a1a，an1；12an(3)对一切 nN*，an0，且 2an1.Sn解 (1)由已知可得 a13221，a22a112317231，a32a2127115241，a42a31215131251.猜想 an2n11，nN*.(2)由已知可得 a1a，a2，12a112aa3，a4.12a22a32a12a332a43a猜想 an(n
5、N*)(n1)(n2)an(n1)a(3)2an1，2a11，SnS1即 2a11，a11.a1又 2a21，S22a21，a 2a230.a1a22 2对一切 nN*，an0，a23.同理可求得 a35，a47，猜想出 an2n1(nN*)要点二 类比推理的应用例 2 如图所示，在ABC 中，射影定理可表示为 abcosCccosB，其中 a，b，c 分别为角A，B，C 的对边类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解 如右图所示，在四面体 PABC 中，设 S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积， 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成
6、二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 SS1cos S2cos S3cos .规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形的类比：平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体跟踪演练 2 已知 P(x0，y0)是抛物线 y22px(p0)上的一点，过 P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在 y22px 两边同时对 x 求导，得 2yy2p，则 y ，所以过 P 的切py线的斜率 k.类比上述方法求
7、出双曲线 x21 在 P(，)处的切线方程为_py0y2222答案 2xy02解析 将双曲线方程化为 y22(x21)，类比上述方法两边同时对 x 求导得 2yy4x，则 y，即过 P 的切线的斜率 k，由于 P(，)，故切线斜率 k2，因此切线方程为2xy2x0y0222 22y2(x)，整理得 2xy0.222要点三 平面图形与空间图形的类比例 3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面
8、外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解 三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的 ，14且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四
9、面体内切球的球心规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法跟踪演练 3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是_各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等答案 解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.1下列推理中，是归纳
10、推理的有_A，B 为定点，动点 P 满足 PAPB2aAB，得 P 的轨迹为椭圆；由 a11，an3n1，求出 S1，S2，S3，猜出数列的前 n 项和 Sn的表达式；由圆 x2y2r2的面积 r2，猜想出椭圆1 的面积 Sab；x2a2y2b2科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案 解析 从 S1，S2，S3猜想出数列的前 n 项和 Sn是从特珠到一般的推理2下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子的颜色是_答案 白色解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657 余 1.第 36 颗珠子的颜色为白色3将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9
11、 1011 12 13 14 15按照以上排列的规律，第 n 行(n3)从左向右的第 3 个数为_答案 n2n62解析 前 n1 行共有正整数 12(n1)个，即个，因此第 n 行第 3 个数是全体n2n2正整数中第3 个，即为.n2n2n2n624古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为n(n1)2n2 n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：1212三角形数 N(n,3) n2 n，1212正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5) n2 n，3212六边形数
12、N(n,6)2n2n可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)_.答案 1000解析 由 N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当 k 为偶数时，N(n，k)n2n，k224k2N(10,24)100102422424211001001000.1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向合情推理的过程概括为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明2归纳推理与
13、类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1下面几种推理是合情推理的是_由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，归纳出所有三角形的内角和是 180；某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分；三角形内角
14、和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得出凸 n 边形内角和是(n2)180.答案 2对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等” ，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_” ，这个类比命题的真假性是_答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题3观察下列等式：11,14(12)，149123,14916(1234)，由此推测第 n个等式为_.答案 12223242(1)n1n2(1)n1(123n)4如图(1)有面积关系：，则图(2)有体积关系：S PABS PABPAPBPAPB_.VPABCVPABC答案 PAPBPCPAPBPC解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得.VPABCVPABCPAPBPCPAPBPC5观察下列等式：1323(12)2,132333
