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1、第十六课时第十六课时 指数函数（指数函数（1 1）【学习导航学习导航】 知识网络知识网络 学习要求学习要求 1理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象、性质； 2初步了解函数图象之间最基本的初等变换。 3能运用指数函数的性质比较两个指数值的大小 4提高观察、运用能力 自学评价自学评价1形如 的函数叫做指数函数，其中自变量是 ，(0,0)xyaaax函数定义域是 ，R值域是 (0,)2. 下列函数是为指数函数有 2yx8xy （且）(21)xya1 2a 1a ( 4)xy xy1225xyxyx10xy 3.指数函数恒经过点 (0,0)xyaaa(0,1)4.当时，函数单调性1a xya为 在上
2、是增函数 ；R当时，函数01axya单调性是在上是减函数 R【精典范例精典范例】例例 1 1： ：比较大小：（1）；（2）；（3）2.53.21.5,1.51.21.50.5,0.50.31.21.5 ,0.8 分析：利用指数函数的单调性指数函数定义图象性质比较大小不等式的解复合函数的性质【解解】 （1）考虑指数函数，( )1.5xf x 1.51在上是增函数，( )1.5xf x R2.53.21.51.5（2）考虑指数函数，( )0.5xf x 0.51在上是减函数，( )0.5xf x R1.21.50.50.5（3）在上是增函数，在上是减函数，( )1.5xf x R( )0.8xf
3、x R，0.301.51.511.200.80.810.31.21.50.8点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小 时，要寻找第三个值来与之比较 例例 2 2： （1）已知，求实数 的取值范围；（2）已知，求实0.533xx0.225x 数 的取值范围.x分析：利用指数函数的单调性.【解解】 （1）在上是增函数，( )3xf x R由得，即实数的取值范围是.0.533x0.5x x0.5,)（2）在上是减函数，( )0.225xf x R又，22125( )0.25由得，即实数的取值范围是.20.20.2x2x x( 2,)点评:通过函数值的大小关系来
4、寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.例例 3 3：设是实数，a，2( )()21xf xaxR（1）求的值，使函数为奇函数a( )f x（2）试证明：对于任意在为增函数；,( )a f xR分析分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。（1），22 2()2112xxxfxaa 由是奇函数，( )f x( )()0f xfx即，.2(12 )2012xxa1a （2）证明：设，则1212,x xR xx12()()f xf x 1222()()2121xxaa2122 2121xx，12122(22 ) (21)(21)xxxx由于指数函数在上是增函数，且，
5、所以即，2xy R12xx1222xx12220xx又由，得，20x1210x 2210x 所以，即12()()0f xf x12()()f xf x因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数.aa( )f xR点评:求与指数函数有关的复合函数的奇偶性、单调性时要注意运用指数函数的有关性质来 解决问题.追踪训练一追踪训练一1.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 （） (1)xyaRaB（） （）A(1,)B(0,1)（）（）C(,1)D( 1,1)2.已知函数在区间上的最大值与最小值的差是 1，求实数的xya(0,1)aa 1,1a 值；解：当时，函数在区间上是增函数，1a xy
6、a 1,1111aa1a ；15 2a当时，函数在区间上是减函数，01axya 1,1111aa01a；15 2a 综上：或15 2a15 2a 3. 解不等式：(1) (2)293xx3 42 60xx 析：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围解：(1)293xx2233xx又在定义域上是增函数3xy 原不等式等价于22xx 解之得2x 原不等式的解集为 |2x x (2)可以整理为3 42 60xx 3 42 6xx， 即，40,60xx42 63xx122( )( )33x又在定义域上是减函数，2( )3xy 1x 故原不等式的解集为 |1x x 【选修延伸选修延伸】 一、与指数函数
7、有关的复合函数一、与指数函数有关的复合函数 例 4: 求函数的定义域、值域、单调区间 26171( )2xxy分析：原函数由函数与复合而成，求解时要统筹考虑2617uxx1( )2uy 【解解】设，则，由于它们的定义域都是，所以函数2617uxx1( )2uy R的定义域为26171( )2xxyR因为，22617(3)88uxxx所以，又，811( )( )22u1( )02u函数的值域为26171( )2xxy1(0,256函数在是增函数，而在上是减函数，2617uxx3,)1( )2uy R所以设，则，123xx12uu从而，即，1211( )( )22uu12yy函数在是增函数，261
8、71( )2xxy3,)同理：函数在是减函数，函数的增区间，26171( )2xxy(,326171( )2xxy3,)减区间是(,3点评:形如的定义域与的定义域相同；求值域时要先确定( )(0,1)f xyaaa( )yf x的值域，再根据指数函数的性质确定的值域；( )f x( )(0,1)f xyaaa当时，与的单调性相同，1a ( )f xya( )yf x当时，与的单调性相反01a( )f xya( )yf x思维点拔：思维点拔：（1）比较两个指数式的大小或解指数不等式往往要利用指数函数的性质；（2）与指数函数有关的复合函数的性质既要考虑到指数函数的性质，又要考虑到与之复合的函数性质追踪训练二追踪训练二 1求下列函数的定义域、值域：(1) (2) 1218xy11 ( )2xy 解：（1） 210x Q1 2x 原函数的定义域是，1,2x xR x令 则1 21tx0,ttR得，8 (,0)tytR t0,1yy所以，原函数的值域是0,1y yy（2） 11 ( )02xQ0x 原函数的定义域是，0,令 则，11 ( )2xt (0)x 01t 在是增函数 ，ytQ0,101y所以，原函数的值域是0,1学生质疑教师释疑
