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1、2.22.2 椭圆定义、标准方程及简单的几何性质椭圆定义、标准方程及简单的几何性质 一、知识要点一、知识要点定义1.平面内到两个定点的距离之 等于常数 （）的点的轨迹；12,F F12FF2. 平面内到定点与到定直线 的距离之比等于常数的点的轨迹.Fle0,1标准 方程图 形范围对称性顶点轴离心率准线 方程 焦半径1.掌握常见的距离：（1）焦点到相应顶点的距离；.caFAAF2211caFAAF2121（2）焦准距：焦点到相应准线的距离，用表示，则P.22cbccaP（3）通径：过焦点且垂直长轴的弦称为椭圆的通径，通径长为.2221abHH2.注意两个特殊三角形（1）焦点三角形：椭圆上一点与两
2、焦点构成的三角形的面积：),(yxP21,FF12PFF（，为短半轴长）,周长为. 1 22tan2PF FSb12FPFb)(2ca (2)特征三角形：椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成的直角三角形的边长满足.222cba3参数方程应用：求最值.cossinxayb 椭圆有“四线” （两条对称轴、两条准线） ， “六点” （两个焦点，四个顶点） ， “两形” （中心，焦点以及短 轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成的三角形）.要注意它们之间的位置关系（如准线垂直于 长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离.一、 椭圆及其标准方程例 1、(1)椭圆的两个焦点为 F1、F2，过
3、 F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为 P，1422 yxyA1B2OA2B1 F1F2F1 xyA2B1OA1B2F2F1则=( )A.B.C.D.4|2PF23327(2) 椭圆上一点到焦点的距离为 2，是的中点，则( ) 192522 yxM1FN1MFONA.2 B.4 C.6 D.23（巩固练习）设椭圆的两焦点，P 为椭圆上一点，则的最大值是 14922 yx12FF，21PFPF 例 2、若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，k 的取值范围是 22 123xy kk变式：（1）若方程表示椭圆，k 的取值范围是 22 123xy kk（2）若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，k 的
4、取值范围是 22 123xy kk 例 3、根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知三边的长成等差数列，且，点的坐标ABCCAAB、BCCAAB C、B，求点的轨迹方程;)0 , 1 (),0 , 1(A(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1（，1） 、P2（-，-2） ，求椭圆的63 方程；（3）经过点，且与椭圆具有共同的焦点.)6, 2(M455922 yx（巩固练习）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆方程是( ) )2 , 3(369422 yxA.B.C.D.1101522 yx110022522 yx1151022 yx122510022 yx【规律方法总结】1
5、.运用椭圆定义解题：运用椭圆定义解题：“回到定义中去”是一个很重要的思想方法； 2.求求椭圆椭圆方程的方法：方程的方法：定义法、待定系数法、代入法（相关点法）等.三、课时作业三、课时作业1.动点 M 到(0,2), (0,2)是距离的和为 4 的两定点，则 M 点的轨迹是( ) 1F2FA.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 （变式）设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则动点P的轨迹 是( ) A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段或不存在 D.不存在2.方程=10,化简的结果是( ) 2222)2()2(yxyxA. B. C. D. 116
6、2522 yx1212522 yx142522 yx1212522 xy3.已知方程表示椭圆，则的取值范围为( )12322 ky kxkA. 且 B. 且 C. D. 3k21k23k21k2k3k4.椭圆的焦距为 2，则的值等于( ) 22 14xy mmA.5 或 3 B.5 C.8 D.16 5. 椭圆 5x2ky25 的一个焦点是（0，2） ，那么k等于( ) A.1 B.1 C. D. 556.如果方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) 2kyx22A. （0，+）B. （0，2）C. （1，+）D. （0，1） 7.设 M (5,0)，N (5,0)，MN
7、P 的周长为 36，则MNP 的顶点 P 的轨迹方程( ) A.B.)0( 11692522 xyx)0( 116914422 xyxC.D.)0( 12516922 yyx)0( 114416922 yyx8.已知椭圆，F1、F2是它的焦点，AB 是过 F1的直线与椭圆交于 A、B 两点，)0( 1x2222 baby a 则ABF2的周长为 （巩固练习）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若12FF，22 1259xy1FAB，则 2212F AF BAB 9.已知椭圆的焦距是 2，且焦距是椭圆上一点到两焦点的等差中项，则椭圆的标准方程为_.10.已知 P 为椭圆上的点，为左右焦点
8、， 1204522 yx12FF，21PFPF (1)求；(2)求 P 点坐标.21PFFS（巩固练习）已知椭圆的焦点为，点在椭圆上，且，则13422 yx21FF、P0 2160PFF= 21PFFS11. (1)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5,3，过 P 且与长轴垂直的直 线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程； (2)一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说22430xyx224600xyx 明它是什么曲线.12. 设,是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知 P, ,是一个直角三角形的三1F2F22 194xy1F2F个顶点且,求的
9、值. 12PFPF12PF PF【小结与反思】二、 椭圆的简单几何性质 例 1、分别求出椭圆 9x225y2225 和 9x2y281 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.例 2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点 P(3,0)、Q(0,2)； (2)长轴长等于 20，离心率；53焦点在 x 轴上，焦距等于 4，并且过点 P（3，）.62-例 3、如图所示， “神舟”载人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点2F距地面，远地点距地面，已知地球的半径A200kmB350km建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.6371Rkm例
10、4、(1)设椭圆的左右焦点分别为、，线段被点（）分成)0( 12222 baby ax1F2F21FF0 ,2b的两段，则此椭圆的离心率为( ) 3:51716. A17174.B54.C552.D(2)椭圆的右焦点为 F，A（a,0）,B(0,b)是两个顶点，如果 F 到直线 AB 的距)0( 12222 baby ax离为,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 7b 777 777 21 54(3),)0( 1212222 PFFbaby ax若椭圆上存在一点的两焦点为设椭圆., 021的范围求椭圆离心率使ePFPF【规律方法总结】有关离心率的计算有关离心率的计算:根据已知条件列
11、出含 a,b,c 的等式（a,b,c 次数相同） ，若方程中存在 b,则 利用 b2=a2-c2消去 b，进而转化为关于离心率的方程后再求解 e.三、课时作业三、课时作业1. “0mn”是“方程221mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在下列方程所表示的曲线中，关于 x 轴、y 轴都对称的是( ) A.x2y B.x22xyy0 C.x24y25x D.9x2y243.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则的值为( ) 122 myxymA. B.2 C. D.421 414.椭圆的
12、离心率为，则的值为( ) A. 2 或B. 2 C. 或 4 D. 122 myx23m21 41 415. 已知 F1，F2为椭圆(ab0)的两个焦点，过 F2作椭圆的弦 AB，若AF1B 的周长为 16，12222 by ax椭圆离心率 e=，则椭圆的方程为( ) 23A. B.C.D.13422 yx131622 yx1121622 yx141622 yx6.已知椭圆左右两焦点分别为，点在椭圆上，若是一个直角三角形的22 1169xy12,F FP12,P F F三个顶点，则点到轴距离为( ) A. B.3 C. D.Px9 59 7 79 47.椭圆的焦点为，点在椭圆上如果线段的中点在
13、轴上，那么是22 1123xy12FF，P1PFy1PF的( ) A.7 倍B.5 倍C.4 倍D.3 倍2PF8. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的标准方程 . 9.若)0 , 2(A椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，则该椭圆的离心率为_.10.椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时点P的横坐标的22 194xy12FF，P12FPF取值范围是_. 11.如图，F 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一点，PFx 轴，OP/AB，求椭圆的离 心率 e.12.椭圆(ab0)的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直，且12222 by ax此焦点和长轴上较近
14、的端点距离为，求此椭圆方程.6234【小结与反思】三、椭圆第二定义及其他性质例 1.点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数求点),(Myx)0 ,(F ccax2 :l),0( caac的轨迹.M例 2.椭圆任一点和左，右焦点，的连线叫焦半径，求证：12222 by ax),(M00yx1F2F，.01MexaF02MexaF【规律方法总结】焦半经公式在解题中的作用应引起我们的注意例 3.已知 F 是椭圆左焦点，点 M 是此椭圆上的动点， A(1,1) 是一定点.459522 yx求|MA|+|MF|的最小值，并求取得最小值时点 M 的坐标；求|MA|+|MF|的最大值和最小值.23三、课时作业三、课时作业1.方程的曲线是( )2) 1() 1(222yxyxA.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆2.点 P 与定点 F（4，0）的距离和它到定直线的距离之比是 4：5，则点 P 的轨迹方程是( )425xA. B.
