《北师大版选修2-1高中数学3.2《立体几何中的向量方法》word教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版选修2-1高中数学3.2《立体几何中的向量方法》word教案（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.23.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法空间距离空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题例如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC平面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离分析：由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离解：如图，设4i，4j，2k，以 i、j、k 为坐CDCBCG标向量建立空间直角坐标系 Cxyz由题设 C(0,0
2、,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) ，(2,0,0)BE uuu r(4, 2,0)BF uuu r，(0, 4,2)BG uuu u r(2,4, 2)GE uuu r(2, 2,0)EF uuu r设平面 EFG，M 为垂足，则 M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理BM 知，存在实数 a、b、c，使得，BMaBEbBFcBGuuuu ruuu ruuu ruuu u r(1)abc (2a+4b,2b4c,2c)(2,0,0)(4, 2,0)(0, 4,2)BMabcuuuu r由平面 EFG，得，于是BM
3、BMGEBMEF，0BMGEuuuu r uuu r0BMEFuuuu r uuu r (24 , 24 ,2 ) (2,4, 2)0 (24 , 24 ,2 ) (2, 2,0)0 1abbcc abbcc abc 整理得：，解得 102305cbacbaca15 11 7 11 3 11abc BM(2a+4b,2b4c,2c)116,112,112( 2222262 11|11111111BMuuuu r故点 B 到平面 EFG 的距离为11112说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在 平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以 了
4、 例 2 已知正方体 ABCD的棱长为 1，求直线与 AC 的距离A B C DDA 分析：设异面直线、AC 的公垂线是直线 l，则线段在直线 l 上的射影DAAA 就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设i，j，k，以 i、j、k 为坐标向量建立空间ABCBBB直角坐标系xyz，则有B，(1,0,0)A(1,1,1)D(1,0,1)A(0,1,1)C ，(0, 1, 1)DA uuuu r( 1,1,0)AC uuu u r(0,0,1)A A uuuur设 n是直线 l 方向上的单位向量，则( , , )x y z2221xyz n，n，DAAC ，解得或 100222zyxyxzy33zyx3 3xyz 取 n，则向量在直线 l 上的投影为333(,)333AAnAA)33,33,33() 1 , 0 , 0(33由两个向量的数量积的几何意义知，直线与 AC 的距离为DA33w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
