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1、中小学数学 2 0 1 4 年 1 、 2 月中旬( 初中) 勾股定理的 ， t 京寺第九中学( 1 0 0 0 4 1 ) 翟工拓 勾股定理的内容是： 在A A B C中， 若A C B：9 0 o ，则 A C + B C = A B 下面 介绍 从 古代 到近 代的 八 种证 法 ， 都立 足 于面积 概念 我认 为 ： 面积 比较 直观， 与人 的经验 的联 系 比较直接， 所 以在 数学发展史上 最 早成为勾股定理的推理根据 面积证法 1 ( 欧几里得证法) 从文献中可以查到 的世界上最早的关于勾股定理的证明， 载于古希腊数 学家欧几里得 ( E u c l i d ， 公元前三百年
2、前后) 的数学名 著 E l e m e n t s 中( 中国明代科学家徐光启将E l e m e n t s 译为 几何原本 ， 现在大都称为 原本 ) 如 图 l ，已 知 A C B = 9 0 。 以a A B C的每一边为正方 形的一边， 分别在三角形外作 正 方 形 A B F K，B C HG， C A J I 过 顶 点 C作 直 线 垂 直 于 斜 边 A B， 与 A B交于 D， 与 K F交于 E连 结 点 与 点 ， ，得 A B J： 连结点 与点 c， 得 图1 G A K C 在 A A B J与 a A K C之间， 显然有 A B=A K， A - ，=
3、ACj 4 曰l， A A KC， B = CAK 我们计算这两个三角形的面积， 得 S =S 但 三角 形面 积 的两倍 又等 于相应 的矩 形面积 或 正方形面积 ， 即 2 S =正方形 的面积 = A C ， 2 S 。 =矩形 A K E D的面积 = A K A D ， AC = AK AD = AB AD 用类似的方法， 易得 B C =A B B D 将这两式 相加， 得 AC - 4 -BC = A B AD + A曰 曰 D ： A B ( AD + BD)= A B AB = A B 面积证法 2 ( 赵爽证法) 我国三国时期的赵爽在 他的“ 勾股圆方图” 说中， 明确将
4、勾股定理叙述为“ 勾 股各 自乘， 并之为弦实， 开方除之即弦” 这里的“ 勾股 各自乘” 就是分别将勾、 股平方， “ 并之” 就是将勾平方 加 上股平方 ， “ 弦实” 是 以弦为边 的正 方形 的面积 ， 即 弦的平方 赵 爽 用 如 图 2的 弦 图 来 证 明 勾 股 定 理己 知 A C B = 9 0 。 ， 作 A A B C 记 A B ： c，B C ： o， C A=b ， 不失一般性， 可令 b。 显然 ， 从几何直观 的角度 ， 人们 承认大 正方 形分解 为 四个全等的直角三角形及一个小 正方 形 计 算它 们 的面 积， 应 该有 大正方形的面积 =4 直角三角形
5、 面积 +小正方形的面积 即 C = - 4 1 b +( b 一 0 ) o - 4 - 6 。= c 2 图 2 于是， 勾股定理也可以用文字艘述为： 勾的平方 ( 接上页) 技能的迁移， 只有那些中等难度的试题才能 够引起较大的迁移效果 为此我们把那些过难或过易 的题 目称做学生发展和备考的“ 无效题 目” 3 对于 中考模拟原创试题的编制还应考虑一些 特殊要求 ， 如果是编制中考模拟试题， 除了上述要求 以外 ， 还应该注意命制一些对考纲新增内容或考纲新调整 内容有所回应的题 目， 这类题 目能够体现考纲的新要 求 ， 有利于增强备考 的针对性 另外， 对于教材中的 “ 可再生知识”
6、， 即对学生的后续学习有很大关系的内 容， 在原创过程中， 应有所侧重 如果能够针对学生的 “ 中考最近发展区” ( 即中考要求和学生当前水平之间 第1 1 2 页 的差距) 命制题目， 必将起到事半功倍的作用 再者， 中考模拟试卷 中的题 目还应该注意覆盖 面， 难度、 效度和区分度上有适当的把握 一套试卷是 一个有机的整体， 应该注意一套卷中， 也许个个试题 质量都很高， 但是作为一套试卷， 并不一定是套好卷， 因为试卷有它的整体性价值和适当的难度 即使其中 的所有题 目都很好， 作为试卷， 如果难度过大或过小， 肯定是不行 的 综上所述， 原创试题的编写从命题情景上说， 可 以从生活、
7、科技、 生产中的物理原形、 物理现象等方面 进行取材， 也可以推陈出新 ， 但整体思想还是通过问 题的设置加强学生对教材内容的掌握 中小学数学 2 0 1 4 年 1 、 2 月中旬( 初中) 面 积证 法 3 ( 梯 形法)如 图 D A C B以D 耋 G9 0 BEFG 在平面上按顺时针方向旋 ! 0 J 转。 ， 得矩形 显然， 两矩， _ 形 的 对 角 线 A B上B F，A B = 图3 B F 而四边形 A C E F是梯形， 我们记这个梯形的一底 为 A C：b， 另一底为 E F=a， 高为C B+ B E=a 4 - b 显然， 梯形 A C E F恰好分解为 A B C
8、， A B E F， A A BF 从面积概念 出发， 我们有 梯形 A C E F的面积 =a A B C的面积 + A B E F的 面积 +a A B F的面积 ， 即 圭 ( n + 6 ) 2 = 吉 。 b + 圭 。 b -4- 1 c 2 化简得 a - 4 - b =C ， 即A c 2 + B C =A B 面 积 证 法 4( 内切 圆 法) B 如图4 ， 设 A C B=9 0 。 ， 内切圆 O的半径为 m， 点 D，E，F分 别 为 三边 C A，A B， B C上 的切 点 由直角顶点C引出的两切线 C D=C F=m， 从顶 点 A引出 G D A 图 4 的
9、两切线为 A D=A E：n， 从顶点 曰引出的两切线 为 B E= B F： k 从面积概念出发， 我们有 直角三角形a A B C的面积=正方形 C D O F的面 积十三角形 A DO的面积的两倍十三角形 B E O的面积 的两倍， 即 ( m+ n ) ( m+k ) =m +mn+m 两边乘以4 ， 再加以整理， 得 2nk= 2m 、 - 4 - 2m n+ 2mk 两边都加上 n - 4 - k ， 得 + i ) =( m+ n ) + ( m + ) 2 最后 得 A C - 4- B C = A B 。 面积证法 5 ( 两肩正方形 法) 如 图 5 ， 设 A C B =
10、 9 0 ， 我们分别以两条直角边 C A和 C B为边， 向直角三角形 A B C的 外 面 作 正 方 形 B C E D 和 8 A HG 记直线 D E和直线 H G的 A I B 图 5 D 交点为 F， 作直线 F C交斜边 A B于 ， 连接线段 F A 和 F B， 构成三角形F C A和三角形 F C B 容 易证明 B C A C E F， 由此可推出 F C= A 曰 ，FC上A 口 我们计算a F C A和a A C G的面积， 得 S m =FC I A ： S =A C CG =AC 我们又计算A F C B和a B C E的面积， 得 S =FC I B = S
11、8 z BC C E = 1，BC 但对a F C A和a F C B来说， 它们的面积之和 s ， c +S A = 1 F C ( IA+t B ) =告F c A B= A ， 于是 A c + B C = A B 2 面 积证法 6 如 图6 ， 将左边正方 形中的 A B C， 绕点A按逆时针方向旋转 9 0 。 ， 得右边的图形 C 图 6 这两个图形面积相等 左 边图形面积为 A C A C 右边图形面积为 A B A B + 圭 ( A C B C ) ( A C + B C ) 经过整理， 得 A C + B C = A B 面积证 法 7 如 图 7 ， 作 A B C ，
12、 C为直角 又 延长 C B， 在 直线 C B的同一侧， 作a A B C A B E D 显然此时有 D B上B A， D B=B A 梯形 A C E D的面积有 两种计算方式： 图 7 梯形 A C E D的面积 ( 上底+下底) 高= 1 ( A C + B C ) ， 梯形A C E D的面积=D B A的面积+2 A B C的面积 ： lA B + A C BC 经过整理， 得 A C - 4 - B C = A B 面积证法8 如图8 ， 作 A A B C， c为直角 再作以A C+B C为边的正 方形 显然， 以 A B为边的小正方形与 4 个 a A B C， 拼成了以 A C+ B C为 边的正方形 用两种方式计算大正方 形的面积， 就得 A C +B C =A B 图 8 第1 1 3 页
