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1、陕西省吴堡县吴堡中学高中数学陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章第二章 应用举例应用举例 1 1 典型例题素材典型例题素材 北师大版必修北师大版必修 5 51、某人在草地上散步，看到他西南有两根相距 6 米的标杆，当他向正北方向步行 3 分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西30方向上，求此人步行的速度解：如图所示，A、B 两点的距离为 6 米，当此人沿正北方向走到 C 点时，测得BCO =45， ACO =30，BCA =BCOACO =4530=15由题意，知BAC =120，ABC =45在ABC 中，由正弦定理，得：ABCAC sin=BCAAB sin，即有 AC =
2、 BCAABCAB sinsin= 15sin45sin6=366在直角三角形 AOC 中，有：OC = ACcos30= (366)23= 933设步行速度为 x 米/分，则 x =3339= 334.7即此人步行的速度为 4.7 米/分2、某海轮以 30 海里/小时的速度航行，在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东60，向北航行40 分钟后到达 B 点，测得油井 P 在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶 80分钟到达 C 点，求 P、C 间的距离解：如图，在ABP 中，AB = 306040= 20，APB =30，BAP =120，由正弦定理，得：BPAAB sin=BAPBP
3、sin，即2120=23BP，解得 BP =320在BPC 中，BC = 306080= 40，由已知PBC =90，PC =22BCPB =2220)320(=720 (海里)所以 P、C 间的距离为720海里3、已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC求边AB的长；若ABC的面积为1sin6C，求角C的度数解：由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB 由ABC的面积11sinsin26BC ACCCgg，得1 3BC AC g，由余弦定理，得222 cos2ACBCABCAC BCg22()21 22ACBCAC BCAB AC BCg g，所以
4、60C o4.某人在 M 汽车站的北偏西 20的方向上的 A 处，观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行驶。公路的走向是 M 站的北偏东 40。开始时，汽车到 A 的距离为 31 千米，汽车前进20 千米后，到 A 的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达 M 汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=BCACABBCAC 2222 =3123,则 sin2C =1- cos2C =231432, sinC =31312,所以 sinMAC = sin（120-C）= sin
5、120cosC - cos120sinC =62335在MAC 中，由正弦定理得MC =AMCMACAC sinsin=233162335=35 从而有 MB= MC-BC=15答：汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。5.在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 103m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE 的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=103， ADC =180-4， 2sin310=)4180sin(
6、30 。因为 sin4=2sin2cos2 cos2=23,得 2=30=15， 在 RtADE 中，AE=ADsin60=15答：所求角为 15，建筑物高度为 15m解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h在 RtACE 中,(103+ x)2+ h2=302在 RtADE 中,x2+h2=(103)2两式相减，得 x=53,h=15在 RtACE 中,tan2= xh310=332=30,=15答：所求角为 15，建筑物高度为 15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =103m在 RtA
7、CE 中，sin2=30x 在 RtADE 中，sin4= 3104, 得 cos2=23,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为 15，建筑物高度为 15m6.某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120 (14x) 2= 92+ (1
8、0x) 2-2910xcos120化简得 32x2-30x-27=0，即 x=23,或 x=-169(舍去)所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为 sinBAC =ABBC120sin=211523=1435BAC =3831 ,或BAC =14174 （钝角不合题意，舍去） ，3831 +45=8331 答：巡逻艇应该沿北偏东 8331 方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.7.我舰在敌岛 A 南偏西50相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以 10 海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）解：如图，在ABC 中由余弦定理得：BC2=AC2+ AB2-2ABAC cosBAC= 202+ 122-21220 (- 21)=784BC=28我舰的追击速度为 14n mile/h又在ABC 中由正弦定理得：BAC sin= ABC sin, 故 sinB = BCAACsin= 1435 B = arcsin 1435答：我舰的追击速度为 14n mile/h，航行方向为北偏东（50-arcsin1435）
