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1、等比数列与等差数列概念及性质对比等比数列与等差数列概念及性质对比1 1数列的定义数列的定义顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系数列又是一类特殊的函数2 2等差数列的定义等差数列的定义顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列严格地说，从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列这个定义的要点有两个：一是“从第 2 项起” ，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数” 这两个要点，刻画了等差数列的本质3 3等差数列的通项公式等差数列的通项公式
2、等差数列的通项公式是：an= a1（n1）d 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将an看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具从发展的角度看，将通项公式进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系 4 4等差中项等差中项A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列其数学表示是：2baA，或 2 A=ab显然A是a和b的算术平均值 2 A=ab（或2baA）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=ab（或
3、2baA）是a，A，b成等差数列的充要条件由此得，等差数列中从第 2 项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项值得指出的是，虽然用 2A=ab（或2baA）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列5 5等差数列前等差数列前n n项的和项的和等差数列前n项和的公式是： 21n naanS， 或 dnnnaSn211 公式和均可看作方程事实上，公式和中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值若将前n项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知
4、道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值公式的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证公式中的nS也可看作关于变量n的二次式（d0 时） ，其图像是在二次函数：xdaxdy 2212的图像上当x取 1，2，3，时所对应的那群孤立点这为我们利用函数的观点求解等差数列前n项和nS的最大值或最小值问题提供了直观的背景6 6等比数列的定义等比数列的定义顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列严格地说，从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第 2 项起” ，二是“每一项与它前一
5、项的比等于同一个常数” 它们刻画了等比数列的本质7 7等比数列的通项公式等比数列的通项公式等比数列的通项公式是：an= a1qn1 这里，一方面，可将an看作是n的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程从发展的角度看，将公式进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质8 8等比中项等比中项G称作a与b的等比中项是指三数a，G，b，成等比数列其数学表示是abG，或 G2=ab显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第 2 项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项9 9等比数列前等比数列前n n项的和项的和等比数列前n项和的公式是： .111,111qqqaqnaSn n公式 qqaSnn111可视为一个方程，它含有四个量若已知其中任意三个量的值，便可通过解方程求出另一个量的值公式 qqaSnn111即111n nqqaS从函数的观点看，Sn是关于qn的一次式，因此点（qn，Sn）在直线111xqay上
