《人教A版高中数学必修二2.3.4《平面与平面垂直的性质》word教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学必修二2.3.4《平面与平面垂直的性质》word教案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质一、教材分析一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用 较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点： （1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由 面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最 重要的定理. 二、教学目标二、教学目标 1知识与技能知识与技能 （1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题； （3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间
2、的相互关系. 2过程与方法过程与方法 （1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3情感、态度与价值观情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑 推理能力. 三、教学重点与难点三、教学重点与难点 教学重点教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点教学难点:平面与平面性质定理的应用. 四、课时安排四、课时安排 1 课时 五、教学设计五、教学设计 （一）复习（一）复习 （1）面面垂直的定义. 如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）面面垂直的判定定理. 两个平面垂直的判定定
3、理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：. ABAB两个平面垂直的判定定理图形表述为：图 1（二）导入新课（二）导入新课 思路思路 1.(情境导入) 黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路思路 2.(事例导入) 如图 2，长方体 ABCDABCD中，平面 AADD与平面 ABCD 垂直,直线 AA 垂直 于其交线 AD.平面 AADD内的直线 AA 与平面 ABCD 垂直吗？图 2（二）推进新课、新知探究、提出问题（二）推进新课、新知探究、提出问题 如图 3,若 ,=CD,AB,ABCD,ABCD=
4、B. 请同学们讨论直线 AB 与平面 的位置关系.图 3 用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明. 设平面 平面 ,点 P,Pa,a,请同学们讨论直线 a 与平面 的关系. 分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点. 总结应用面面垂直的性质定理的口诀. 活动活动:问题引导学生作图或借助模型探究得出直线 AB 与平面 的关系. 问题引导学生进行语言转换. 问题引导学生作图或借助模型探究得出直线 a 与平面 的关系. 问题引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点. 问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀. 讨论结果：讨论结果：通过学生作图
5、或借助模型探究得出直线 AB 与平面 垂直,如图 3. 两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面. 两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图 4.图 4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB.BCDABCDABCDAB两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图 5 如图 5，已知 ,=a,AB，ABa 于 B. 求证：AB. 证明：证明：在平面 内作 BECD 垂足为 B,则ABE 就是二面角 CD 的平面角. 由 ,可知 ABBE.又 ABCD，BE 与 CD 是 内两条相交直线,AB. 问题也是阐述面面垂直的性质，
6、变为文字叙述为： 求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直 线，在第一个平面内.下面给出证明. 如图 6,已知 ，P，Pa，a.求证：a.图 6 证明：证明：设 =c，过点 P 在平面 内作直线 bc， ,b.而 a，Pa, 经过一点只能有一条直线与平面 垂直,直线 a 应与直线 b 重合.那么 a.利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数 学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线 b，不易想到，二是证明直线 b 和直 线 a 重合，相对容易些.点 P 的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可 以不在交
7、线上.我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围 绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为 线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就 是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂 线”.（四）应用示例（四）应用示例 思路思路 1 例 1 如图 7，已知 ，a,a,试判断直线 a 与平面 的位置关系.图 7 解解:在 内作垂直于 与 交线的垂线 b, , b.a, ab. a,a. 变式训练变式训练如图 8,
8、已知平面 交平面 于直线 a.、 同垂直于平面 ，又同平行于直线 b.求证： (1)a；(2)b.图 8 图 9 证明：证明：如图 9, (1)设 =AB，=AC.在 内任取一点 P 并在 内作直线 PMAB，PNAC. ，PM.而 a，PMa. 同理,PNa.又 PM，PN，a. (2)在 a 上任取点 Q，过 b 与 Q 作一平面交 于直线 a1，交 于直线 a2.b，ba1. 同理,ba2. a1、a2同过 Q 且平行于 b，a1、a2重合. 又 a1，a2，a1、a2都是 、 的交线，即都重合于 a. ba1，ba.而 a，b. 点评：点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面
9、垂直，见到面面垂直首先考 虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例 2 如图 10，四棱锥 PABCD 的底面是 AB=2，BC=的矩形，侧面 PAB 是等边三2角形，且侧面 PAB底面 ABCD.图 10 图 11 （1）证明侧面 PAB侧面 PBC； （2）求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角； （3）求直线 AB 与平面 PCD 的距离. （1）证明：证明：在矩形 ABCD 中，BCAB, 又面 PAB底面 ABCD,侧面 PAB底面 ABCD=AB,BC侧面 PAB. 又BC侧面 PBC,侧面 PAB侧面 PBC. （2）解：解：如图 11,取
10、AB 中点 E，连接 PE、CE,又PAB 是等边三角形,PEAB. 又侧面 PAB底面 ABCD，PE面 ABCD. PCE 为侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角.PE=BA=,CE=,23322BCBE 3在 RtPEC 中，PCE=45为所求. （3）解：解：在矩形 ABCD 中，ABCD, CD侧面 PCD，AB侧面 PCD，AB侧面 PCD. 取 CD 中点 F，连接 EF、PF，则 EFAB. 又PEAB,AB平面 PEF.又ABCD, CD平面 PEF.平面 PCD平面 PEF. 作 EGPF，垂足为 G，则 EG平面 PCD.在 RtPEF 中，EG=为所求.530 PFEC
11、PE变式训练变式训练 如图 12，斜三棱柱 ABCA1B1C1的棱长都是 a，侧棱与底面成 60角，侧面 BCC1B1 面 ABC.求平面 AB1C1与底面 ABC 所成二面角的大小.图 12 活动活动:请同学考虑面 BB1C1C面 ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程， 并作出相应辅助线. 解：解：面 ABC面 A1B1C1，则面 BB1C1C面 ABC=BC, 面 BB1C1C面 A1B1C1=B1C1,BCB1C1，则 B1C1面 ABC. 设所求两面交线为 AE，即二面角的棱为 AE, 则 B1C1AE，即 BCAE. 过 C1作 C1DBC 于 D，面 BB1C1C面 A
12、BC, C1D面 ABC，C1DBC.又C1CD=60,CC1=a,故 CD=,即 D 为 BC 的中点.2a又ABC 是等边三角形,BCAD. 那么有 BC面 DAC1,即 AE面 DAC1. 故 AEAD，AEAC1, C1AD 就是所求二面角的平面角.C1D=a，AD=a，C1DAD,故C1AD=45.23 23点评点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路思路 2 例 1 如图 13，把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至ABD 的位置，使 CD=AC,图 13 （1）求证：平面 ABD平面 ABC； （2）求二面角 CBDA 的余弦值. （1）证
13、明：证明：(证法一):由题设,知 AD=CD=BD,作 DO平面 ABC，O 为垂足，则 OA=OB=OC. O 是ABC 的外心，即 AB 的中点.OAB，即 O平面 ABD. OD平面 ABD.平面 ABD平面 ABC. (证法二):取 AB 中点 O，连接 OD、OC, 则有 ODAB，OCAB，即COD 是二面角 CABD 的平面角.设 AC=a，则 OC=OD=,a22又 CD=AD=AC,CD=a.COD 是直角三角形，即COD=90. 二面角是直二面角，即平面 ABD平面 ABC. （2）解解:取 BD 的中点 E，连接 CE、OE、OC,BCD 为正三角形，CEBD. 又BOD
14、 为等腰直角三角形,OEBD.OEC 为二面角 CBDA 的平面角. 同（1）可证 OC平面 ABD,OCOE.COE 为直角三角形.设 BC=a，则 CE=a，OE=a,cosOEC=即为所求.23 21 33CEOE变式训练变式训练如图 14，在矩形 ABCD 中，AB=33,BC=3，沿对角线 BD 把BCD 折起，使 C 移到 C，且 C在面 ABC 内的射影 O 恰好落在 AB 上.图 14 （1）求证：ACBC； （2）求 AB 与平面 BCD 所成的角的正弦值； （3）求二面角 CBDA 的正切值. （1）证明：证明：由题意,知 CO面 ABD,COABC, 面 ABC面 ABD
15、. 又ADAB,面 ABC面 ABD=AB,AD面 ABC.ADBC. BCCD,BC面 ACD.BCAC. (2)解解:BC面 ACD,BC面 BCD,面 ACD面 BCD. 作 AHCD 于 H,则 AH面 BCD,连接 BH,则 BH 为 AB 在面 BCD 上的射影,ABH 为 AB 与面 BCD 所成的角.又在 RtACD 中,CD=33,AD=3,AC=3.AH=.26sinABH=,即 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为.32ABAH 32(3)解解:过 O 作 OGBD 于 G,连接 CG,则 CGBD,则CGO 为二面角 CBDA 的平面角.在 RtACB 中,CO=,6 AB
