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1、第第 1 1 章章 二次函数二次函数1.11.1 二次函数二次函数【知识与技能】1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.【过程与方法】经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.【情感态度】体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.【教学重点】二次函数的概念.【教学难点】在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.一、情境导入，初步认识一、情境导入，初步认识1.教材 P2“动脑筋”中的
2、两个问题：矩形植物园的面积 S(m2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度 x(m)的关系式是 S=-2x2+100x,(02 B.12C.12 D.1,24.二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点坐标为(1,0),(3,0)，则方程ax2+bx+c=0 的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数 y=x2-(m+1)x+m 的图象交 x 轴于 A(x1,0),B(x2,0)两点，交 y 轴的正半轴于点 C，且 x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点 D（0，-）的直线与抛物线交于点 M、N，与 x 轴交于5 2点 E，使得点 M、N 关于点 E 对称？若存在
3、，求出直线 MN 的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1,x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-5 2【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与 x 轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上,教师点评:求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；抛物线与 x 轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.用函数图象求“一元二次方程的近似根” ；二次函数问题可转化为对应一元二次方程根与系数关系
4、问题.1.教材 P28第 13 题.2.完成同步练习册中本课时的练习.通过本节课的学习,让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了,这样对二次函数的综合应用就方便得多了,从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.1.51.5 二次函数的应用二次函数的应用第第 1 1 课时课时 二次函数的应用二次函数的应用(1)(1)【知识与技能】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历运用二次函数解决实际问题的探究过程,进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系,体会二次
5、函数是解决实际问题的重要模型,提高运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.2.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难,积累运用知识解决问题的成功经验.【教学重点】用抛物线的知识解决拱桥类问题.【教学难点】将实际问题转化为抛物线的知识来解决.一、情境导入，初步认识一、情境导入，初步认识通过预习 P29页的内容，完成下面各题.1.要求出教材 P29动脑筋中“拱顶离水面的高度变化情况” ，你准备采取什么办法？2.根据教材 P29图 1-18，你猜测是什么样的函数呢？3.怎样建立直角坐标系比较简便呢？试着画一画它的草
6、图看看！4.根据图象你能求出函数的解析式吗？试一试！二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知探究探究 直观图象的建模应用例 1 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8m，两侧距地面 3m 高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是 6m,如图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到 0.1m)约为（ ）A.6.9m B.7.0m C.7.1m D.6.8m【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.先建立平面直角坐标系,如图,设大门地面宽度为 AB,两壁灯之间的水平距离为 CD,则 B,D 坐标分别为(4,0),(3,3),设抛物线解析式为 y=ax2+
7、h.把（3，3） ， （4，0）代入解析式求得 h6.9.故选 A.答案:A【教学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.例 2 小红家门前有一座抛物线形拱桥,如图,当水面在 l 时，拱顶离水面 2m,水面宽 4m,水面下降 1m 时，水面宽度增加多少？【分析】拱桥类问题一般是转化为二次函数的知识来解决.解:由题意建立如图的直角坐标系,设抛物线的解析式 y=ax2,抛物线经过点 A（2，-2） ，-2=4a,a=-,即抛物线的解析式为 y=-x2,1 21 2当水面下降 1m 时，点 B 的纵坐标为-3.将 y=-3 代入二次函数解析式，得 y=-x2,1 2得-3=-x2x2=6x=
8、,此时水面宽度为 2|x|=2m.1 266即水面下降 1m 时，水面宽度增加了(2-4)m.6【教学说明】用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便.三、运用新知，深化理解三、运用新知，深化理解1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽 AB=1.6m,溶洞顶点 O 到水面的距离为 2.4m,在图中直角坐标系内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（ ）A.y= x215 4B.y=x2+15 412 5C.y=-x215 4D.y=-x2+15 412 52.某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固
9、起见，每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图） ，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A.50m B.100m C.160m D.200m第 2 题图 第 3 题图3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 秒.4.(浙江金华中考）如图，足球场上守门员在 O 处踢出一高球，球从离地面 1 米处飞出（A 在 y 轴上） ，运动员乙在距 O
10、点 6 米的 B 处发现球在自己的正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(2)足球第一次落地点 C 距守门员是多少米?(取 47,25)36(3)运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？【教学说明】学生自觉完成上述习题，加深对新知的理解，并适当加以分析，提示如第 4 题，由图象的类型及已知条件，设其解析式为 y=a(x-6)2+4,过点 A（0，1） ，可求出 a;（2）令 y=0 可求出 x 的值，x0 舍去；（3
11、）令 y=0,求出 C 点坐标（6+4,0),设抛物线 CND 为 y=-(x-k)2+2,代入 C 点坐标可求31 12出 k 值(k6+4).再令 y=0 可求出 C、D 的坐标，进而求出 BD.3【答案】1.C 2.C 3.36 4.解:(1)y=-(x-6)2+41 12(2)令 y=0,可求 C 点到守门员约 13 米.(3)向前约跑 17 米.四、师生互动，课堂小结四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上,教师点评.3.建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析
12、式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.1.教材 P31第 1、2 题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课主要是利用二次函数解决生活中的实际问题,其主要思路是建立适当的直角坐标系,使求出的二次函数模型更简捷,解决问题更方便,让学生学会运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.第第 2 2 课时课时 二次函数的应用二次函数的应用(2)(2)【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究
13、过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.【教学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.【教学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.一、情境导入，初步认识问题问题 1 1 同学们完成下列问题:已知 y=x2-2x-3x= 时，y 有最 值，其值为 ；当-1x4 时，y 最小值为 ，y 最大值为 .答案:1,小，-4；-4，5【教学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，
14、又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知二、思考探究，获取新知教学点教学点 1 1 最大面积问题阅读教材 P30动脑筋，回答下列问题.1.若设窗框的宽为 xm，则窗框的高为 m,x 的取值范围是 .2.窗框的透光面积 S 与 x 之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1. 0x 83 2x8 32.S=-x2+4x,0x3 28 33.Smax=m2.8 3例例 1 1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点 E，过E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是 AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点 E 应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为 a,设
15、 DE=x，则 AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当 x=-时，y最小值=2（a）2-2aa+a2=21 2 22aa1 21 2a2 1 2即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【教学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.教学点教学点 2 2 最大利润问题例例 2 2 讲解教材 P31 例题【教学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题. 例例 3 3 某商店将每件进价 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约100 件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加约 10 件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润销量.解:设降价 x 元，总利润为 y 元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当 x=0.5 时，总利润最大为 225 元.当商品的售价降低 0.5 元时，销售利润最大.
