《论希尔伯特的元数学纲领及其哲学意义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《论希尔伯特的元数学纲领及其哲学意义（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、自然辩证法研究Vol.7,No,7,199 1论希尔伯特的元数学纲领及其哲学意义张家龙希尔伯特( D.Hil bert,x8621943)是 国际著名的德国数学家和逻辑学家。他所提出的元数学纲领奠定了证明论的基础,在数学和数理逻辑发展史上具有重大意义。本文试图对希尔伯特纲领作出全面的、历史的评述,并根据马克思主义哲学观点对它的哲学意义作出初步的概 括。1希尔伯特纲领提出的历史背景希尔伯 特纲领是在2 0世纪2 0年代提出来的。在这之前,公理学的发展取得了重 要结果。从欧氏几何经过非欧几何到189 9年希尔伯特的几何基础,表明公理学已由实质公理学发展为形式公理学。在公理学发展的过程中,数学家利用
2、模型方法证明了非欧几何相对于欧氏几何的一致性。希尔伯特也用模型方法,把几何命题表示为实数代数的命题,证明了欧氏几何相对于实数理论是一致的。这样,实数理论就成了几何的基础。经过微积分基础的争论和分析的算术化,极限理论被奠基在实 数理论 之上。在这之后,戴德金把实数定义为有理数的划分,每一个实数都能把一切有理数划分为两组,两组没有公共的元素,而合起来则包括有理数域的一切数。这实质上是把实数定义为有理数的无 穷 集合,也可化归为 自然数的无穷集合。因此,经过戴德金和康托尔的工作,实数理论相对于自然数理论和集合论的一致性便确立起来了。以后,弗雷格和戴德金等人又利用集合的概念定义了自然数,这样就把自然数
3、理论的一致性化归为集合论的一致性。因此,集合论的一致性成为整个数学一致 性的基础。然而,正当数学家们还没有来得及证明集合论一致性的时候,集合 论中的悖论却接踵而至。1897年,意大利数学家布拉里一福蒂发 现了最大序数的悖论。1899年,集合论的创始人康托尔发现了最大基数的悖论。190 2年,罗素发现了所有不是自身分子的类的类悖论。如此等等。集合论悖论的出现,动摇了整个数学的基础,形成了第三次数学危机,被动了西方数学界和逻辑界。弗雷格在得知罗素悖论后惊呼知识大厦的基石突然动摇了”,提出“算术是否完全可能有一个逻辑基础”的问题。不少数学家认为,悖论的出现使数学的最后基础和终极意义的问题没有解决.集
4、合论悖论的出现表明,在康托尔的素朴集合论中有重大缺陷。为了克服这些缺陷,策 梅罗在1908年建立了公理集合论.这一理论后来 得到了充实和发展。罗素在1908年和191 0年提出了逻辑类型论。公理集合论和类型论是第三次数学危机之后所取得的重大成果,可以排除已发现的集合论悖论。但这并不能保证数学理论里不再出 现逻 辑矛盾。在上述背景下,希尔伯特为了一劳永逸地解决数学基础 问题,提出了直接证明(绝对证明)全部数学一致性的纲领。2希尔伯特纲领的主要内容希尔伯特的证明论思想有一个发展过程,1904年开始形成,至 2 0世纪2 0年代基本成熟,在数理逻22论希尔伯特的元数学纲领及其哲学意义辑发展史上被称为
5、“希尔伯特纲领”或“希尔伯特计划”。9401年,希尔伯特在海德堡第三届 国际数学家大会上作了题为论逻 辑和算术的基础的讲演。在讲演中,他批评了当时关于算术基础的各种观点,提出用他的公理化方法可以为数概念提供一个严格的而又完全令人满意的基础。他说:“算术常常被看成是逻辑的一部分,当我们要解决建立算术基础这个问题 时,往往预先假定了传统的逻辑基本概念。但是如果我们深入考察,那么就会认识到:在我 们对逻辑规律进行传统的说明中,即已用到某些基本的算术概念,例如,集合的概念,甚至在某种程度上用到了数的概念。于是我们发 现自己陷入了某种循环,这就说明,如果我们想要避免悖论,那就必须在某种程度上同时开展对逻
6、辑规律和算术规律的研究。”幻研究的方法就是公理方法。希尔 伯特在讲演中第一次提出应该把证明本身也作为研究对象的思想。幻他在讲演中试图证明算术的 一 致性,提出了一般的方法:通过证明初始公式(公理)具有某种性质并且推演规则传递这个性质从而证明某类的所有公式都有这个性质。这个性质现在被称为“齐次性质”。19 04年以后,希尔伯 特并没有进一步贯彻他的设想,把主要精力放在积分方而和物理学等方面。从191 7年发表公理化思维开始,希尔伯特才转到数学基础问题方面。在这篇讲演 中,希尔伯特提出了与数论和集合论的一致性相联 系的几个重要问题:每一数学问题的原则可解性问题;给数学证 明找到一个简单标准的问题;
7、数学中的内容与形式化的关系问题,一个数学l q题可否通过有穷步骤加以判定的可判定性问题。希尔伯 特认为,这些问题构成了一个应该加以研究的领域,要进行这一领域的研究就必须探讨数学证明的概念。这篇讲演勾画 了证明论的总目标,但并未确定具体的研究方法。1922年,在汉堡的一次会议上,希尔伯特发表了数学的新基础的讲演。他承认,由集合论的悖论所引起的事是不能允许的,但他要改变 韦尔(原为希尔伯特的学生,后来赞成布劳 维尔的直觉主义)和布劳维尔“通过错误 的方法来寻求这个问题的解答”。他说:“韦尔和布劳维 尔的做法,基本上是走柯朗尼克的老路。他们试图这样为数学奠定基础,那就是,一切对他们不方便的都要抛弃,
8、并且树立 一个柯朗尼克式的禁令专政。但这就要把我们的科学支解,使它残缺不全,如果我们接受这种改革办法,我们就要冒失去我们最有价值的宝藏一大部分的危险。韦尔和布劳维尔驱逐了无理数、函数,还有数论函数的一般概念,康托尔的高次数类等等。在无穷多个整数中总有一最小 者这个 命题,甚至在判断中,例如在或者只有有穷多 个质数或者有无穷多个中的逻辑排中律,这些命题和推论规则都在被禁止之列。”3对于直觉主 义 解决悖论的计划,希尔伯特是不能接受的。他提出,用符号逻辑的方法将数学定理和证明形式化,构成形式系统,并将形式化的公式和证明当作 直接 对象,这样我们就可以重新获得布尔劳维尔和韦尔所要求的数学的客观性,而
9、又可以保存最宝贵的数学财富。希尔伯 特在讲演中指出,如何用“有 穷方法”来处理 数论的一致性,但一般的数学则需 要用超穷方法。希尔伯特深信他能够克服新的数 学基础危机,并一劳永逸地解决数学基础问题。1 922年,希尔伯特在莱比锡德国自然科学家大会上发表了数学的基础的讲演。他说:“构成数学的每件东西现已严格形式化了,使得它变为许多公式。这些公式同普通数学公式的区别只在于:除普通记号或符号外,还引进了逻辑符号,特别是蕴涵号和否定号。作为数学形式系统基石的某些公式称为公理。一个证明是一个格式,它本身必须清楚地呈现在我们面前,它据推理模式(按:指S ,S)T,., .T),由一系列断定组成,这里前提S
10、 ,或是一条公理(或一些公理),或是在展开中先已出现的证明格式的结尾公式。一个公式称 为可证的,如果它或是一公理或是一个证明的结尾公式。对于通常的形式化数学而言,在一定 意义上要附加一门新的数学,即元数学。 在元数学中,人们处理普通数 学的证明,后者成为研究的对象。”元数学也被称为“证明论”。希尔伯特强调“有穷观点”,他根据有穷观点,对全称量词和存在量词的规则作了新的处理。他提出了以下的“超穷公理”:A(下A)今A(a)其中,符号,是一个逻辑选择函项,对任一 谓词A指派一个基准对象A,而如果一个谓词A应 用于基准对象:A,它就应用 于所有对象a。这样,关于全称量词和存在量词的规则化归为超穷 公
11、理的应用。证明算术的一致性就是证明在任何形式推演中2 3自然辩证法研究都有一个数值公式作结尾,而它不同于公式。斗。希尔伯特192 2年的两篇讲演奠定了希尔伯特纲领的基础。他的证明论思想在以后的几次讲演中,得到进一步充实和发展。1925年的论无穷是希尔伯特在明斯特城纪念维尔斯特拉斯的数学家大会上所作的讲演,是希尔伯特关于数学基础问题的代表作。4他的主要论点是:(1)必须把逻辑演算和数学证明本身形式化,把用普通语言传达的内容上的数学科学变为用数学符号和逻辑符号按一定法则排列 的一堆公式。证明一致性的问题归结为:根据已确立的规则从我们的公理 出发,得不出, 1斗1 ,作为一个结尾公式,因而, 1斗1
12、 , ,是一个不能证明的公式。证明论的问题在于指出,一个具有一定性质的证明是得不到的。一个形式化的证明同一个数学符号一样,是一个具休的而又能 概观其整体的东西。它自始至终是可报道的。结尾公式所要求的结构“l笋1 ),也是一个可具体确定的证明特性。元数学是关于形式证明的内容上的理论。(2)有两种无穷:潜无穷和实无穷。潜 无 穷是 一种变化着的、成长着的、被产生出来的东西,例如分析中作为极限概念的无穷大和无穷小。当我们把数1,2,3,4,的整体本身看成一个完成的实体或者把一线段上的许多点看成是实际给定的、完成的对象整体,这种无穷称为实无穷。希尔伯特采用潜无穷的观点,不假定实无穷。他认为,在现实世界
13、中无处能找到无穷,无穷是一种超乎经验之外的理性概念。(3 )康托尔的集合论是数学精神最值得惊叹的花朵,是人类纯理智活动的一个最高成就。它是关于实无穷的理论。在弗雷格、戴德金和康托尔的大力合作下,无穷被推上了皇位,盛极一时。但恰恰在康托尔的集合论中,出现了灾难性的悖论。希尔伯特指出,有一条完全令人满意的道路,它能绕过这些悖论不致背弃我们的科学。最主要的是,必须对推理建立起象普通初等数论里所具有的完全一样的可靠性。对于初等数论是没有人怀疑的,那里的矛盾和悖论只是由于不注意才会发生。这就是说,必须采用有穷观点和有穷方法,其特点是:从有穷观点看来,具有形式“存在一个数具有这一或那一特性”的存在命题,仅
14、作为部分命题即第7卷第7期作为更加精确地确定了的一个命题的一部分时才有意义。例如,“这些粉笔之中有一支是红的”这个存在命题实际上是“这支粉笔是红的,或者那支粉笔是红的,或者,或者那里的一支粉笔是红的”这一命题的简单说法。简单地说,要证明三xA(x ),是给出一个使得A(x)成立的x或给出找这个x的方法。对于全称命题,例如“如果a是一个数字,那么我们必有a十1=1+a”,我们不能把它理解为一个无穷合取, 1十1=1+1并且2+1=1十2并且直至无穷”,只能理解为一个假言判断:如果给出一个数字,那么就可断定某些东西。从有穷 观点看来,vxA (x)的解释是:对一个数 字n的任 一选择,命题A (n
15、)可以证明是真的。对于如上面所说的,其中出现一个未确定的数学符号的方程,或者可以为每一个数学符号所 满足,或者将为一个反例所否定,对这个析取命题,从有穷观点看来,它是不能成立的。也就是说,排中律不能应用于这样的命题,因为这个析取命题是以上述那个方程a+1=1+a普遍有效这一命题可以否定的假设为基础的。对这样的全称命题加以否定得到“有一a使得a+1铸1十a , ,这是一个无穷析取,有穷观点是不承认的。由上可见,有穷观点实质上是潜无穷理论的具体表现。希尔伯特后来在与贝尔纳斯合著的数 学基础(第一卷,19 34)中对“有穷”作了如下说明:“我们将总是把有穷一词用来指:所涉及的讨论、断定或定义都必须满
16、足其对象可以彻底产生出并且其过程可以彻底进行的要求,因此可以在具体观察的论域中实现。”综上所说,有穷观点或有穷方法有两个主要特点:所谈 论的对象是产生出来的,而不仅是假定的,如果定义或推演的过程不能在有穷步以内终止,那么就不能承认;需要多少步骤,事先可以确定。总之,有穷方法是一种初等的能行的方法。(4)根据有穷观点,有一些传统的逻辑 定律不适用了,为了保持这些定律,那么我们应该怎么办呢?那就要用理想元素的方法,给有穷命题附加一些理想命题。根据这种观点,数学将由两类公式组成:一类公式对应着有意义的表述,另一类公式则不表示任何意义,但形成数学理论的理想结构。理想命题以实无穷的存在为前提,把实无穷作为理论希尔伯特的元数学纲领及其哲学意义巴_t想元索,排中律成立。但是应用理想元素有一个先决条件,即一致性证明。通过增加理想元素而实现的扩充,只有当扩充以后在原来旧的较狭领域内不发生矛盾,也就是在消去理想结构而对旧的结构所得出的一些关系在旧的领域内总适用的时候,这种扩充才是许可的。希尔伯特在论无穷中还提出了证
