《2017年高中数学苏教版必修一3.3《 幂函数》学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2017年高中数学苏教版必修一3.3《 幂函数》学案(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、3 33 3 幂函数幂函数1了解幂函数的概念,会画出幂函数yx,yx2,yx3,y ,的图象1 x1 2yx 2能根据幂函数的图象,了解幂函数的性质 3会用几个常见的幂函数性质比较大小1幂函数 一般地,我们把形如yx(R R)的函数叫做幂函数,其中x为自变量,为常 数 幂函数的定义域是使x有意义的所有x的集合,因的不同,定义域也不同,如函数yx2的定义域为 R R,而函数y 的定义域为x|xR R,且x01 x判断函数是否为幂函数时要根据定义,即x的系数为 1,指数位置的为一个常数, 或者经过变形后满足条件的均可 【做一做 1】下列函数是幂函数的有_ yx2y1 x yx3x y2x yx3
2、答案:答案: 2幂函数的图象与性质函数yx,yx2,yx3,yx1,在同一平面直角坐标系中的图象如图所1 2yx 示从图中可以观察得到它们的特征如下:【做一做 21】,的大小关系是_1 41 2a1 61 3b1 81 5c 答案:答案:abc【做一做 22】函数的奇偶性是_,单调性是_3 5yx 答案:答案:奇函数 在 R R 上单调递增 【做一做 23】函数yx2的值域为_ 答案:答案:(0,)当n取不同的有理数时,幂函数yxn的图象及性质剖析:剖析:我们只研究n是有理数的情况,规定n 是既约分数:p q (1)如下表所示: yxn奇函数(p奇q奇)偶函数(p偶q奇)非奇非偶函数(q偶)n
3、10n 1n0(2)当nN N*时,定义域为 R R; 当n0 时,定义域为x|x0; 当n为负整数时,定义域为x|x0;当n (p,qN N*,q1,且p,q互质)时,若q为偶数,则定义域为0,),p q 若q为奇数,则定义域为 R R,当n (p,qN N*,q1,且p,q互质)时,若q为偶数,则定义域为(0,),p q 若q为奇数,则定义域为x|x0 (3)在(0,)上都有定义,并且图象都过点(1,1) 当n0 时,图象都通过原点,并且在(0,)上的图象是上升的,向上无限伸展, 是增函数;当n0 时,图象是除去点(0,1)的直线y1;当n0 时,图象都不过原点, 并且在(0,)上的图象是
4、下降的,向右与x轴无限靠近,是减函数 在直线x1 的右侧,指数n越大图象位置越高题型一 幂函数的性质 【例 1】当x(0,)时,幂函数y(m2m1)x5m3为减函数,求实数m的 值 分析:幂函数的一般形式为yx,说明其系数为 1,由此确定m值 解:由条件得Error!解得m2. 反思:对于幂函数yx来说,其系数为 1,当题目中还有其他性质时,必须根据此 性质写出约束条件本题函数在(0,)上为减函数,说明指数小于 0. 【例 2】将四个数 1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列 分析:本题要用到两类函数,既要运用指数函数的性质,又要运用幂函数的性质,不 能混淆
5、两种函数 解:因为函数y1.2x在 R R 上单调递增, 所以 1.20.61.20.51.201. 因为函数yx1.2在(0,)上单调递增, 所以 0.51.20.61.211.21. 综上所述,0.51.20.61.21.20.51.20.6. 反思:在函数值的大小比较中,0 和 1 是两个特殊值,它们起着桥梁作用 题型二 幂函数的图象及其应用 【例 3】画函数y1的草图,并求出其单调区间3x 分析:此函数的作图有两种途径,一是根据描点的方法作图,二是利用图象变换来作 图一般说来,作草图时,利用图象变换较为方便 解:y11.3xx3 此函数的图象可由下列变换而得到: 先作函数y的图象,作其
6、关于y轴的对称图象,即y的图象,将所得图象向xx 右平移 3 个单位,向上平移 1 个单位,即为y1的图象(如下图所示)3x从图象知y1的单调递减区间为(,33x 反思:本题容易发生的错误:一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数);二 是将函数式变形的过程不是等价变形,导致变形后的函数已不再是原有的函数了【例 4】已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,2(2,1 4) 问当x为何值时,有(1)f(x)g(x);(2)f(x)g(x);(3)f(x)g(x)? 解:设f(x)xa,因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,将点(,2)代入f(x)22 xa中,得
7、 2()a,解得a2,即f(x)x2;2设g(x)xb,因为点在幂函数g(x)的图象上,将点代入g(x)xb中,(2,1 4)(2,1 4)得 (2)b,解得b2,即g(x)x2.1 4 在同一平面直角坐标系中作出f(x)x2与g(x)x2的图象如图所示 由图象可知:(1)当x1,或x1 时,f(x)g(x);(2)当x1,或x1 时,f(x)g(x); (3)当1x1 且x0 时,f(x)g(x) 反思:幂函数的一般形式是yx(为常数),要求幂函数的解析式只要解出即 可1 函数图象的大致形状是_2 3yx答案:答案: 2 已知函数f(x)(a1)xa2a1, 当a_时,f(x)为正比例函数;
8、 当a_时,f(x)为反比例函数; 当a_时,f(x)为二次函数; 当a_时,f(x)为幂函数 解析:解析:当f(x)为正比例函数时,Error! 即a2; 当f(x)为反比例函数时,Error! 即a0 或a1; 当f(x)为二次函数时,Error!即a;1 132 当f(x)为幂函数时,a11,即a2.答案:答案:2 0 或1 21 1323 设,则使函数yx的定义域为 R R 且为奇函数的所有的值为1,1,1 2,3 _ 答案:答案:1,3 4 比较下列各组中两个值的大小:(1)和;3 51.53 51.6 (2)0.180.3和 0.150.3.解:(1)因为函数在 R R 上单调递增
9、,3 5yx又 1.51.6,所以.3 51.53 51.6 (2)因为函数yx0.3在(0,)上单调递减, 又 0.180.15, 所以 0.180.30.150.3.5 求出函数f(x)的单调区间,并比较f()与f的大小x24x5 x24x4(22)解:f(x)11(x2)2,x24x41 x24x41 x24x4 它是由g(x)x2向左平移 2 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度而得到的g(x)的单调增区间是(,0),单调减区间是(0,),f(x)的单x24x5 x24x4 调增区间是(,2),单调减区间是(2,),f(x)的图象关于直线x2 对称(,2),(2,),且2()(2),f2222f()(22)