《2017人教A版数学必修二4.1.1《圆的标准方程》示范教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017人教A版数学必修二4.1.1《圆的标准方程》示范教案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章第四章 圆与方程圆与方程本章教材分析本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过 方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数 形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直 角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系, 了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一 步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形 成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程,研究直线与圆、
2、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,坐标法不仅是研 究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点 和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法 这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素: 点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算;最后把运算结果“翻译”成相应的几何结 论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方 法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题. 本章教学时间约需 9 课时,具体分配如下(仅供参考):4.1.1圆的标准方程1
3、课时4.1.2圆的一般方程1 课时4.2.1直线与圆的位置关系2 课时4.2.2圆与圆的位置关系2 课时4.3.1空间直角坐标系1 课时4.3.2空间两点间的距离公式1 课时本章复习1 课时4.14.1 圆的方程圆的方程 4.1.14.1.1 圆的标准方程圆的标准方程 整体设计整体设计 教学分析教学分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上, 进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊 的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是 说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重
4、要的地位,在许多实际问题中也有着 广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层 次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用 意识,本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计,所谓“引导探究”是教师把 教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要 着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施, 都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的 求知欲,促使学生解决问题. 三维目标三维目标 1.使学生掌握圆的标准
5、方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,注 意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2.会用待定系数法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形成代数方法 处理几何问题的能力,从而激发学生学习数学的热情和兴趣,培养学生分析、概括的思维能 力. 3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线,从圆外一点引切线,已知切线斜率求切线 等.把握运动变化原则,培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点,欣赏和体验 圆的对称性,感受数学美. 重点难点重点难点 教学重点：圆的标准方程
6、的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 课时安排课时安排 1 课时 教学过程教学过程 导入新课导入新课 思路思路 1.1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山) 说明:在白纸上要表演的是一个小魔术,名称是日出,所以还缺少一个太阳,请学生帮助 在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳. 课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点 评:其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点). 然后上升到数学层次： 不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的
7、方程. 从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹. 那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的 方程？教师板书本节课题:圆的标准方程. 思路思路 2.2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的 方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程. 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 已知两点 A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它 们之间的距离? 具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 图 1 中哪个点是定
8、点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什 么特点？图 1 我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定 圆的条件是什么? 如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：讨论结果：根据两点之间的距离公式,得2 212 21)()(yyxx|AB|=,212)59()62(22|CD|=.22)8()3(yx平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上 画一个圆). 圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆
9、心距离等于定长|MC|=r,圆心和半径分别确 定了圆的位置和大小. 确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了. 确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是 常数,r0).设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出) P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件=r.22)()(byax将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2. 若点 M(x,y)在圆上,由上述讨论可知,点 M 的坐标满足方程,反之若
10、点 M 的坐标满足方程 ,这就说明点 M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C 的圆上.方程就是圆心为 C(a,b),半 径长为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程. 这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表 示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2. 提出问题提出问题 根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? 确定圆的方程的方法和步骤是什么? 坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 讨论结果：讨论结果：圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2中,有三个参数 a、b、
11、r,只要求出 a、b、r 且 r0,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆 心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件. 确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接 求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为： 1根据题意,设所求的圆的标准方程(xa)2(yb)2=r2； 2根据已知条件,建立关于 a、b、r 的方程组； 3解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程. 点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法： 当点 M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-
12、b)2=r2上时,点 M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 当点 M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点 M 的坐标不满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1点到圆心的距离大于半径,点在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆外; 2点到圆心的距离等于半径,点在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上; 3点到圆心的距离小于半径,点在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆内. 应用示例应用示例思路思路 1 1 例 1 写出下列各圆的标准方程： (1)圆心在原点,半径是 3；圆心在点
13、C(3,4),半径是;5(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3)； (4)圆心在点 C(1,3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切. 解解: :(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0)2+(y-0)2=32,即 x2+y2=9. (2)由于圆心在点 C(3,4),半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径 r=|CP|=5,因此所求圆的标准方程为(x-8)25)31 ()85(222+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=r2,因为圆经过点
14、P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8)2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种 方法都可,要视问题的方便而定. (4)设圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以 r=.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=.25|16|25|7123| 25256点评：点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例 2 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(-,-1)是5否
15、在这个圆上. 解解: :圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点 M1(5,-7),M2(-,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,5则 M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上. 点评点评: :本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的 关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标 满足方程来看在不在圆上从代数到几何. 例 3 ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程. 活动：活动：
16、教师引导学生从圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要确定圆的标准方程,可用待 定系数法确定 a、b、r 三个参数.另外可利用直线 AB 与 AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆 的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法. 解法一解法一: :设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆 上, 它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是)3(.)8()2()2()3()7() 1 (,)1 ()5(222222222rbarbarba解此方程组得所以ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25. . 5, 3, 2rba解法二解法二: :线段 AB 的中点坐标为(6,-1),斜率为-2,所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y+1=(x-6).
