线性方程组的矩阵解

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1、3.1 线性方程组的 矩阵解线性方程组的 矩阵解第三章 线性方程组第三章 线性方程组3.1 线性方程组的矩阵解线性方程组的矩阵解一、用消元法解线性方程组三、矩阵的规范形与线性方程组的解研究问题：二、矩阵和矩阵的初等变换一、用消元法解线性方程组三、矩阵的规范形与线性方程组的解研究问题：二、矩阵和矩阵的初等变换第三章 线性方程组第三章 线性方程组对一般线性方程对一般线性方程11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb+= += +=? ? ?+= += +=? ? ?（1）道此时方程组是有解，还是无解。因此有必要研究一般线性方程

2、组（）道此时方程组是有解，还是无解。因此有必要研究一般线性方程组（1）的）的一、消元法与矩阵的初等变换一、消元法与矩阵的初等变换且系数行列式且系数行列式0D 时，方程组（时，方程组（1）有唯一解，）有唯一解，,mn= =当 我们无法知当 我们无法知0,D = =其解由其解由Cramer法则给出。但若系数行列式时，法则给出。但若系数行列式时， Cramer法则失效，我们也不知方程组有没当法则失效，我们也不知方程组有没当mn 是解，更没有解此方程组（是解，更没有解此方程组（1）的有效方下面用加减消元法解三元一次线性方程）的有效方下面用加减消元法解三元一次线性方程第三章 线性方程组第三章 线性方程组

3、例例3.1.1 解方程组：解方程组：把未知量系数和常 按原顺序写成下把未知量系数和常 按原顺序写成下2026 00318 0115 2131 04120115 1232323231 42 5xxx xx xx+= += = = =213142542026 13323226318 5xxx xx+ += = = = =123123132314254 226xxxxxx xx+= += += += + +=把第把第1个方程分别乘以、 加到第个方程分别乘以、 加到第2个、个、3个方程得：个方程得：1 2 把第把第1行分别乘以、 加到第行分别乘以、 加到第2、3行得：行得：2 1 把第把第3个方程分别

4、乘以、个方程分别乘以、 1加到第加到第2个、个、1个方程得：个方程得：4 把第把第3行分别乘以、行分别乘以、 1加到第加到第2、1行得：行得：4 第三章 线性方程组第三章 线性方程组把第把第2个方程与第个方程与第3 方程互换位置得：把第 方程互换位置得：把第2行与第行与第3行互换位置行互换位置1013 01150016 132333 5 6xx xx x+= = += = = = 20260115 00318 分别把第分别把第1个方程和第个方程和第3个 方程乘以得：和个 方程乘以得：和1/31/2132332265318xxxxx+ += = = = = = 分别用和 乘第分别用和 乘第1行和

5、第行和第3行得：行得：1/21/31009 0101 0016 1239 1 6xx x= = = = = = 把第把第3个方程分别乘以个方程分别乘以 1加到第加到第1、2个方程得：个方程得：1, 分别把把第分别把把第3行乘以行乘以 1加到第加到第1、2行得：行得：1, 第三章 线性方程组第三章 线性方程组在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如3、互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变如果把方程组写成、互换两个方程的位置。 这三种变换总称为线性方程组的初等变如果把方程组写成 “数表数表” （矩阵）的形式（矩阵）的形

6、式,则解方程组就则解方程组就2、用一个非零数乘矩阵的某一、用一个非零数乘矩阵的某一1、用一个数乘某个方程的两边加到另一方程、用一个数乘某个方程的两边加到另一方程 2、用一个非零数乘一个方程的两、用一个非零数乘一个方程的两1、用一个数乘矩阵的某一行加到另一行下三种变相当于对、用一个数乘矩阵的某一行加到另一行下三种变相当于对“数表数表” （矩阵）进行以下三种变（矩阵）进行以下三种变3、互换两行的位由此引进互换两行的位由此引进两个新概念两个新概念：矩阵矩阵和和矩阵的初等变矩阵的初等变第三章 线性方程组第三章 线性方程组二、矩阵和矩阵的初等变换二、矩阵和矩阵的初等变换111212122212nnmmm

7、naaaaaaaaa ? ? ? ?定义定义3.1.1 数域上个元素排成如下形式的表：数域上个元素排成如下形式的表：mn FF称为数域上称为数域上m行行n列列矩阵矩阵，简称，简称 ( () )ijm na 或或,m nA mn 阶矩阵，记为当阶矩阵，记为当m=n时，矩阵亦称为时，矩阵亦称为方阵方阵。n n 。其中称为矩阵的元素，。其中称为矩阵的元素，i称为元素称为元素ijaija所在行的行下标，所在行的行下标，j称为元素所在列的列下标。称为元素所在列的列下标。ija第三章 线性方程组第三章 线性方程组定义定义3.1.2 以下三种变换称为以下三种变换称为矩阵的初等变矩阵的初等变1、用一个数乘矩阵

8、的某一行（列）加到另一行（列）称为矩阵的、用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）称为矩阵的消法变消法变2、用一个非零数乘矩阵的某一行（列），称为、用一个非零数乘矩阵的某一行（列），称为倍法变倍法变3、交换矩阵中某两行（列）的位置，称为、交换矩阵中某两行（列）的位置，称为换法变换法变为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否 原方程组同解。我们方程组的初等变换把线性方程组变为一个与它为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否 原方程组同解。我们方程组的初等变换把线性方程组变为

9、一个与它定理定理3.1.1 与它同解的线性方程从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由程组未知量系数和常数项所排成的矩阵进行初等变换的过与它同解的线性方程从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由程组未知量系数和常数项所排成的矩阵进行初等变换的过第三章 线性方程组第三章 线性方程组把方程组把方程组(1)的未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称 方程组的系数矩阵，记为由方程组未知量系数和常数组成的未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称 方程组的系数矩阵，记为由方程组未知量系数和常数组成11121121222212nnmmmnmaaab aaabAaaab = ? ? = ? ?1112

10、12122212,nnmmmnaaa aaaAaaa = ? ? ? ? = ? ? ? ?矩阵称为方程组的增广矩阵，记为矩阵称为方程组的增广矩阵，记为A。对方程组。对方程组111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa = ? ? = ? ?若若111212122212nnnnnnaaaaaaaaa? ? ?则称为矩阵则称为矩阵AA的行列式，记为。注意行列式与矩阵在形式和本质的区别。的行列式，记为。注意行列式与矩阵在形式和本质的区别。第三章 线性方程组第三章 线性方程组三、矩阵的规范形与线性方程组的解三、矩阵的规范形与线性方程组的解A进行相应的初等变换。和常数项组成的增广矩阵对方程

11、组进行初等变换其实质就是对方程组中未知量系一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形进行相应的初等变换。和常数项组成的增广矩阵对方程组进行初等变换其实质就是对方程组中未知量系一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形问题问题：由定理：由定理3.1.1知，对增广矩阵进行行初等变换所得矩阵，对应的方程组与原方程组同知，对增广矩阵进行行初等变换所得矩阵，对应的方程组与原方程组同第三章 线性方程组第三章 线性方程组变换可化为如下阶梯形变换可化为如下阶梯形 r行表示在矩阵中无须明白写出的元素， 不同位置上的表示的元素未必相等。表示在矩阵中无须明白写出的元素， 不同位置上的表示的元素未必相等。定理定理3.

12、1.2m n矩阵矩阵A，通过行初等变换及列换法一个这里，通过行初等变换及列换法一个这里0min, ; *rm n1010001000000000000B = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?证明：若证明：若A=0，则，则A已成阶梯形。 则已成阶梯形。 则A至少有一个元素不为至少有一个元素不为0，不妨设，不妨设110,a 若若0,A 否 我们可经行、列变换，使位于左上角。否 我们可经行、列变换，使位于左上角。ija则，可设则，可设0,ija 第三章 线性方程组第三章 线性方程组对中的右下角矩

13、阵类似考虑，若其为对中的右下角矩阵类似考虑，若其为0，2A2222nmmnbbbb ? ? ? ? ? ?121222 1221 00nnmmnbb bbAAbb = ? ? ? ? = ? ? ? ?用乘第一行得：用乘第一行得：1 11a 111211112121222222 112200nnnnmmmnmmnaaaaaaaaabbAAaaabb = ? ? = ? ?加到第加到第i行，则行，则A化为把第一行分别乘以化为把第一行分别乘以1 111,2,3,ia aim =?=?第三章 线性方程组第三章 线性方程组则结论成立；若其不为则结论成立；若其不为0，不妨设 乘第，不妨设 乘第2行加到第行加到第i（i=3，m）行，然后用如此作下去，直到）行，然后用如此作下去，直到A化为阶梯形化为阶梯形B为止。即有：为止。即有：121312223233331 00000nnnmmnbbb bbbcccc ? ? ? ? ? ? ? ?12131232333331 010000nnnmmnbbb ccccAcc = ? ? ? ? = ? ? ? ?121222 22100nnmmnbbbbAbb