线性代数(经管类)串讲

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1、BY KPZHU18 January 2016线性代数经管类考前串讲线性代数经管类考前串讲 本串讲针对”线性代数”(经管类)课程考试 总结各章考核要点,基本概念,基本理论和方法 通过典型例题讲解考核要点,帮助理解公式用法 理清知识点脉络,减少背公式压力 配套模拟复习巩固 如果你配合认真听并按要求认真复习,你一定能过大纲概要 重点:行列式计算;矩阵计算;解方程组 识记15”,领会35”,简单应用35”,综合应用15” 5个单选题10分;10个填空30分;8个计算题52分;2个证明题8分 行列式13分; 矩阵26分; 向量空间21分; 线性方程组19分; 特征值特征向量16分; 二次型5分 闭卷1

2、50分钟, 可使用计算器, 60/100过关第一章第一章 行列式行列式 （一）行列式的定义（一）行列式的定义 行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子， 它实质上表示把这些数按 一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1二阶行列式二阶行列式 由 4 个数)2 , 1,(=jiaij得到下列式子：11122122aaaa称为一个二阶行列式，其运算规则为 21122211 22211211aaaaaaaa= 2三阶行列三阶行列式式 由 9 个数)3 , 2 , 1,(=jiaij得到下列式子：333231232221131211aaaaaaaaa称为一个三阶行列式，它如

3、何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递 归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3余子式及代数余子式余子式及代数余子式 设有三阶行列式 3332312322211312113 aaaaaaaaaD = 对任何一个元素ija， 我们划去它所在的第 i 行及第 j 列， 剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ija的余子式，记成ijM 例如例如 33322322 11aaaaM=，33321312 21aaaaM=，23221312 31aaaaM= 再记 ijji ijMA+=) 1( ，称ijA为元素ija的代数余子式. 再记 ijji

4、 ijMA+=) 1( ，称ijA为元素ija的代数余子式. 例如例如 1111MA=，2121MA=，3131MA= 那么 ，三阶行列式3D定义为 我们把它称为3D按第一列的展开式，经常简写成 =+=3111131113) 1(iiiiiiiMaAaD 3131212111113332312322211312113AaAaAaaaaaaaaaaD+=4n 阶行列式阶行列式 一阶行列式 11111aaD= n 阶行列式 1121211111212222111211nnnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD+=LLLLLLL其中( ,1,2, )ijA i jn=L为元素ija的代数余子

5、式. 5特殊行列式特殊行列式 上三角行列式11121222 1122000nn nnnnaaaaaa aaa=LLLLLLLL下三角行列式1122 112212000nnnnnnaaaa aaaaa=LLLLLLLL21对角行列式 1122 1122000000nnnnaaa aaa=LLLLLLLL（二）行列式的性质（二）行列式的性质 性质性质 1 行列式和它的转置行列式相等，即TDD = 性质性质 2 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD，也就是说，行 列式可以按行和列提出公因数. 性质性质 3 互换行列式的任意两行（列） ，行列式的值改变符号. 推论推

6、论 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零. 性质性质 4 行列式可以按行（列）拆开. 性质性质 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为 D. 推论推论 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零. 定理定理 1（行列式展开定理） n 阶行列式nijaD =等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即 ), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiiiLL=+= ), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjjLL=+= 前一式称为 D 按第 i 行

7、的展开式，后一式称为 D 按第 j 列的展开式. 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值. 定理定理 2 n 阶行列式nijaD =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即 )(02211kiAaAaAakninkiki=+L )(02211sjAaAaAansnjsjsj=+L （三）行列式的计算（三）行列式的计算 行列式的计算主要采用以下两种基本方法： （1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是， 在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（1） ，在按行或按列提取公因子k 时，必须在

8、新的行列式前面乘上k. （2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是 利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开 例例1 计算行列式 52072325121314124=D 解： 解：观察到第二列第四行的元素为 0，而且第二列第一行的元素是112=a，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为 0，然后按第二列展开. 42 1 4 12 1 4 15 6 231 2 121 15 0 6 215 05 2 3 2105 03( 2) 17 2 50 2 57 0 2 55 31 231225 1100813757 37 5D

9、+ =+ + =行行按第二列展开行行 7列列按第二行展开例 例 2 计算行列式 abbbbabbbbabbbbaD =4解：方法 解：方法 1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取 0 值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为ba3+（我们把它称为行和相 同行列式） ，我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子ba3+，再将后三行都减 去第一行： 3131(3 )31311000(3 )000000a b b bab b b bb b bb a b bab a b ba b babb b a bab b a bb a bb

10、 b b aab b b ab b abbbabababab+=+=+3)(3(baba+= 方法方法 2 观察到这个行列式每一行元素中有多个 b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与4D有相同值的五阶行列式： 112 3 4 5411 01000010000100001000b b b bbbbba b b ba b b babb a b bDb a b ba bb b a bb b a ba bb b b ab b b aab +=行（ ） ，行这样得到一个“箭形”行列式，如果ba =，则原行列式的值为零，故不妨假设ba ，即0ba，把后四列的ba 1倍加到第一列上，可以把第一列的（1

11、）化为零. 4410000400001()(3 )() 0000 0000bbbbbab abba babab ababa b ab3+ =+=+ 例例 3 三阶范德蒙德行列式 )()(1112313122 32 22 13213xxxxxxxxxxxxV= （四）克拉默法则（四）克拉默法则 定理 定理 1（克拉默法则）设含有 n 个方程的 n 元线性方程组为 11 11221121 1222221 122,nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb+= += +=LLLLLLLLLLLLL如果其系数行列式0=nijaD，则方程组必有唯一解：njDDxj

12、j, 2 , 1,L= 其中jD是把 D 中第 j 列换成常数项nbbb,21L后得到的行列式. 把这个法则应用于齐次线性方程组，则有 定理定理 2 设有含 n 个方程的 n 元齐次线性方程组 11 112 2121 122 221 12 20,0,0n nn nnnnn na x a xa xa x a xa xa x a xa x+ += + += + +=LLL L L L L L L L L L L如果其系数行列式0D，则该方程组只有零解：021=nxxxL 换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有0=D 第二章中将证明，n 个方程的 n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数

13、行列式等于零. 例 例 4 当取何值时，齐次线性方程组 =+=+=+0)1 (0)3(2042)1 (321321321xxxxxxxxx只有零解？ 解：解：方程组的系数行列式 124134 2 3121211 11 11013413(1)1121D + = + +列列按第三行展开3256= +) 3)(2(= 由于, 3, 2, 00D故当0且2且3时，方程组只有零解. 第二章第二章 矩阵矩阵 （一）矩阵的定义（一）矩阵的定义 1矩阵的概念矩阵的概念 由nm个数), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaijLL=排成的一个 m 行 n 列的数表 =mnmmnnaaaaaaaaaALLLLL

14、212222111211称为一个 m 行 n 列矩阵或nm矩阵 当nm =时，称()nnijaA=为 n 阶矩阵或 n 阶方阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵，用nmO或 O 表示 23个常用的特殊方阵：个常用的特殊方阵： n 阶对角矩阵是指形如 =nnaaaALLLLL0000002211的矩阵 n 阶单位方阵是指形如 =100010001LLLLLnE的矩阵 n 阶三角矩阵是指形如 nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLL2122211122211211 000,000的矩阵 3矩阵与行列式的差异矩阵与行列式的差异 矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而

15、矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“*”与矩阵记号“( )*”也不同，不能用错. （二）矩阵的运算（二）矩阵的运算 1矩阵的同型与相等矩阵的同型与相等 设有矩阵nmijaA=)(，=kijbB)(，若km =，=n，则说 A 与 B 是同型矩阵.若 A 与 B 同型,且对应元素相等，即ijijba =，则称矩阵 A 与 B 相等，记为BA = 因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等. 2矩阵的加、减法矩阵的加、减法 设nmijaA=)(，nmijbB=)(是两个同型矩阵则规定 nmijijbaBA+=+)( nmijijbaBA=)( 注意：注意：只有 A 与 B 为同型矩阵，它们才可以相加或相减. 由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律. 3数乘运算数乘运算 设nmijaA=)(，k 为任一个数，则规定nmijkakA=