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1、图像变换技术n离散余弦变换n小波变换1 离散余弦变换离散余弦变换余弦变换是简化傅立叶变换的重要方法，特别是用于图像信息压缩传输如计算机多媒体技术中的传 输。从傅立叶变换性质可知当f(x)或f(x,y)为偶函数时，虚数项为零不需计算，变换只计算余弦项。因此余弦 变换是傅立叶变换的特例。n1-D离散余弦变换n2-D离散余弦变换1- D 离散余弦变换（DCT）1 , , 1 , 02) 12(cos)()()(10= +=NuNuxxfuauCNxL1 , , 1 , 02) 12(cos)()()(10= +=NxNuxuCuaxfNuL=1 , , 2 , 1201)(NuNuNuaL当当1）离
2、散余弦变换表达式w w 变换定义w 变换计算 =1 , , 2/)1(212/ , , 2 , 1 , 0)2()(NNuxNfNxxfxgLL当当2-D DCT编程示范ndct2函数实现图像的二维离散余弦变换，其语 法为： F=dct2(f) 【例】 CLF f=imread(e:Barbara.bmp); f=im2double(f); F=dct2(f); subplot(121),imshow(f,); subplot(122),imshow(log(1+20*abs(F),); 离散余弦变换示例离散余弦变换示例离散余弦变换离散余弦变换2） 快速离散余弦变换的计算） 快速离散余弦变换的
3、计算与傅里叶变换一样，离散余弦变换自然可以由定义式出发进行计算。由于这样的计算量太大，在实际应用中很不方便。所以也要寻求一种快速算法。计算长度为N的一维信号序列的DCT变换需要： N2次乘法和N(N+1)次加法 计算长度为M*N的二维信号序列的DCT变换需要： M2N次乘法和MN(M+N- 2)次加法首先，从定义出发，作如下推导式中Re 是取其实部的意思。如果把时域数据向量作下列延拓，即：( ) += 12 , 1, 0 1, 2 , 1 , 0 )(NNNxNxxfxfe LLLL则的离散余弦变换可写成下式f xe( )则的离散余弦变换可写成下式f xe( )由上式可见fxee xNjxu
4、N()= 0212 2是2N点的离散傅里叶变换。所以，在作离散余弦变换 时，可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅里叶变换，产生的结果取其实部便可得到余弦变换。同样道理，在作反变换时，首先在变换空间，把作如下延拓( ) += 12 , 1, 0 1, 2 , 1 , 0 )(NNNuNuuFuFe LLLL ( )F u那么，反变换也可用下式表示 + = += += +=+=+=NxujNujeNueeNxujNujNueeeNujNxujeNueeNuNuxjeeeNueeeeuFRNFNNeeuFRNFNeeRuFNFNeRuFNF NNuxuFNFNxf22 212022 2121222
5、1211212) 12(121)(2)0(21)(2)0(1)(2)0(1)(2)0(12) 12(cos)(2)0(1)(由上式可见，离散余弦反变换可以从的2N点反傅里叶变换实现。 NujeeuF2)(例如，在JPEG图像压缩算法中，首先将输入图像划分为88的方块，然后对每一个方块执行二维离散余弦变换，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。在接受端，将量化的DCT系数进行解码，并对每个88方块进行二维IDCT，最后将操作完成后的块组合成一幅完整的图像。3）离散余弦变换应用）离散余弦变换应用离散余弦变换离散余弦变换DCT变换已在JPEG、MPEG1/2/4、H.
6、26x等国际编码标准获得成功应用。JPEG编码器流程图JPEG编码器流程图编码器流程图1 FT变换的局限性 2 短时傅立叶变换 3 小波变换的优势 4 小波变换定义及特点 5 小波分析 6 小波重构 7 小波变换应用2 小波变换小波变换傅立叶变换与时频分析 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函数表示成如下形式：这就是著名的傅立叶级数，tktk00sincos 和都是简单的调和振荡函数，直观讲都是正弦波。kkba 和是函数f(t)的傅立叶系数，可由以下公式计算：+=+=1000)sincos(2)(ikktkbtkaatf1） 傅立叶变换的局限性于是，周期函数 f(t) 就
7、与下面的傅立叶序列产生了一一对 应，即LLLL2 , 1 , 0sin)(22 , 1 , 0cos)(20000=ktdtktfTbktdtktfTaTkTk，LL),(),( ,)(22110babaatf有了傅立叶变换，我们可以很容易地将时域信号f(t) 转换到频域上，于是信号的频率特性一目了然，并且与傅立叶级数一样，傅立叶变换将一段信号的主要低 频能量都集中在频率信号的前面几项，这种能量集中性 有利于进一步的处理。在过去200年里，傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，但傅立叶分析也有 不足，主要表现在以下两点：)(f傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性；傅立叶分析对非平稳信号的
8、处理效果不好。歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将 这个波函数转化成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无 法反映信号在哪一时刻有高音，在哪一时刻有低音，因此 结果是所有的音符都挤在了一起，如下图所示。举例：歌声信号傅里叶变换局限性示例图傅里叶变换局限性示例图n n实际中大多数信号含有大量的非平稳信号，例如：实际中大多数信号含有大量的非平稳信号，例如：突变，突变， 奇异，事件的起始与终止等情况奇异，事件的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的。这些情况反映了信号的 重要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震信号重要特征，是分析的对象。例如下图：典型的地震信号典型的地震记录图23实际采集
9、的地震信号图实际采集的地震信号图它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息n n如何如何完成只分析数据中的一小部分完成只分析数据中的一小部分? ?加窗？加窗？2）短时傅立叶变换（短时傅立叶变换（STFTSTFT）n n基本思想：基本思想： 给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信号进行给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信号进行变换，因此反映了信号的局部特征。变换，因此反映了信号的局部特征。STFT示意图示意图n n缺陷：缺陷：其窗函数的大小和形状均与其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关时间和频率无关，保持固定，保持固定不变，对于分析时变
10、信号不变，对于分析时变信号不利不利！（高频信号持续时间短，低频信号持续时间长。我们希望（高频信号持续时间短，低频信号持续时间长。我们希望对于对于高频采用小的时间窗高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗低频使用大时间窗进行分进行分析。）析。）STFTSTFT无能为力了！无能为力了！不能构成不能构成不能构成不能构成正交基正交基正交基正交基，给数值计算带来不便给数值计算带来不便。n n使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间 关系如图所示。关系如图所示。n n图图(a)(a)是是2020世纪世纪4040年代使年代使用用GaborGabor开发的开发的
11、STFTSTFT得到得到的时间的时间- -频率关系图频率关系图n n图图(b)(b)是是2020世纪世纪8080年代使年代使用用MorletMorlet开发的小波变换开发的小波变换得到的时间得到的时间- -缩放因子缩放因子( (反映频率反映频率) )关系图。关系图。离散小波变换分析图离散小波变换分析图解决方法解决方法以歌声频谱分析为例，对信号进行小波变换。在小波 域，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低音 发生的位置与原始信号相对应，如下图所示。小波变换示例图小波变换示例图3） 小波变换优势） 小波变换优势与传统的傅立叶变换和Gabor变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析
12、。它通过伸缩和平 移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分和低频处频率细分，能自动适应时频 信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解 决了傅立叶变换的困难问题。小波变换小波变换30 4) 4) 小波变换定义及特点小波变换定义及特点n n小波（小波（小波（小波（WaveletWavelet），），），），即小区域的波，是一种特殊的即小区域的波，是一种特殊的即小区域的波，是一种特殊的即小区域的波，是一种特殊的长度有长度有长度有长度有 限、平均值为限、平均值为限、平均值为限、平均值为0 0的波形。的波形。的波形。的波形。n n特点：特点：特点：特点：n n“小小小小”，即
13、在时域都具有紧支集或近似紧支集，即在时域都具有紧支集或近似紧支集，即在时域都具有紧支集或近似紧支集，即在时域都具有紧支集或近似紧支集n n正负交替的正负交替的正负交替的正负交替的“波动性波动性波动性波动性”，也即直流分量为零，也即直流分量为零，也即直流分量为零，也即直流分量为零小波的含义31信号的不同表示32n n傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到 正无穷，正无穷，正无穷，正无穷，但小波倾但小波倾向于向于不不规则与规则与不不对称对
14、称但小波倾但小波倾向于向于不不规则与规则与不不对称对称。n nFTFT将信号将信号分解成一分解成一系列系列不不同频率同频率正弦波的正弦波的叠加叠加，将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波分析小波分析小波分析小波分析 是是将信号将信号分解成一分解成一系列系列小波小波函数函数的的叠加叠加是是将信号将信号分解成一分解成一系列系列小波小波函数函数的的叠加叠加。而这些而这些小波小波函数函数。而这些小波函数。而这些小波函数 都是都是由由都是由都是由一一个母个母小波小波函数经过函数经过平平移与尺移与尺度度伸缩伸缩一一个母个母小波小波函数经过函数经过平平移与尺移与
15、尺度度伸缩伸缩得来得来的。的。得来的。得来的。n n用用用用不不规则规则不不规则规则的小波的小波函数来函数来的小波函数来的小波函数来逼逼近近尖锐尖锐变变化化逼逼近近尖锐尖锐变变化化的的信号显然信号显然的信号显然的信号显然要比光滑要比光滑要比光滑要比光滑 的正弦的正弦曲线要好曲线要好的正弦的正弦曲线要好曲线要好，同样同样，同样，同样，信号信号局局部部的特性的特性信号信号局局部部的特性的特性用小波用小波函数来逼函数来逼用小波函数来逼用小波函数来逼 近近显然要比光滑显然要比光滑的正弦的正弦函数来逼函数来逼近近要好要好。近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。5) 小波分析小波分析n n小波变换通过小波变换通过平移母小波平移母小波(mother wavelet)(mother wavelet)可获得信号可获得信号 的的时间信息时间信息，而通过，而通过缩放小波的宽度缩放小波的宽度( (或者叫做尺度或者叫做尺度) )可可获得信号的获得信号的频率特性频率特性。对母小波的缩放和平移操作是。对母小波的缩放和平移操作是 为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号 之间的相互关系。之间的相互关系。n n连续小波变换连续小波变换n
