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1、静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波第三章 静电场的边值问题第三章 静电场的边值问题1. 电位1. 电位微微分方程分方程微微2. 镜像法2. 镜像法3 3直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法3 3. . 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法4. 圆柱坐标系中的分离变量法4. 圆柱坐标系中的分离变量法5. 球坐标系中的分离变量法5. 球坐标系中的分离变量法1静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波3 13 1 电位微分方程电位微分方程3 3. .1 1 电位微分方程电位微分方程已知电位已知电位与电场强度与电场强度E E的关系为的
2、关系为已知电位已知电位与电场强度与电场强度的关系为的关系为=E对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得2= E对于线性各向同性的均匀介质对于线性各向同性的均匀介质电场强度电场强度E E的散的散对于线性各向同性的均匀介质对于线性各向同性的均匀介质，电场强度电场强度E E 的散的散度为度为 E= E那么那么，电位满足的微分方程式为电位满足的微分方程式为那么那么，电位满足的微分方程式为电位满足的微分方程式为=2泊松方程泊松方程2静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波=2对于无源区对于无源区上式变为上式变为0=拉普拉斯方程拉普拉斯方程02=对于无源区对于无源区，上式变为上式变为0
3、=已知分布在已知分布在V中的电荷在无限大的自由空中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为间产生的电位为)(rV V=d|)( 41)(rrrr 间产生的电位为间产生的电位为|上式为泊松方程在自由空间的特解。上式为泊松方程在自由空间的特解。利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的通解。3静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波定解条件定解条件初始条件数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。初始条件数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。
4、静电场与时间无关静电场与时间无关因此电位所满足的泊松方程及拉因此电位所满足的泊松方程及拉定解条件定解条件 边界条件边界条件 静电场与时间无关静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题场的边值问题场的边值问题场的边值问题。此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一。此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。4静电
5、场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波边界条件有三种类型：边界条件有三种类型：第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为问题又称为狄狄里里赫利问题赫利问题。第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，问题又称为问题又称为狄赫利问题狄赫利问题这种边值问题又称为这种边值问题又称为诺依曼问题诺依曼问题。第三类边界条件是给定部分边界上的物理量及另第三类边界条件是给定部分边界上的物理量及另第三类边界条件是给定第三类边界条件是给定一一部分边界上的物理量及另部分边界上的物理量及另一部
6、分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为为混合边界条件混合边界条件。5静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波解的解的存在存在稳定稳定及及惟性惟性问题问题解的解的存在存在、稳定稳定及及惟惟一一性性问题问题。存在存在 是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的是指当定解条件发生微小变化时，所求得的 解是解是否否变化变化很大。很大。惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是是指在给定的定解条件下所求得的解是否是 惟惟一一的的解是变化解
7、是变化惟的惟的。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在。静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在 确信无疑确信无疑泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经确信无疑确信无疑。得到证明。得到证明。可以证明电位微分方程解具有惟可以证明电位微分方程解具有惟一一性性。6可以证明电位微分方程解具有惟性可以证明电位微分方程解具有惟性。静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是第是第一一类边界类边界。是第类边界是第类边界已知已知S n = 可见，
8、表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此因此若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向因此因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟地确定即被惟地确定这个结论称为静电场惟性定理这个结论称为静电场惟性定理即被惟即被惟一一地确定地确定。这个结论称为静电场惟这个结论称为静电场惟一一性定理性定理。7
9、静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程足泊松方程方程=2足泊松方程方程足泊松方程方程 在无源区，电位满足拉普拉斯方程在无源区，电位满足拉普拉斯方程静电场的边值问题静电场的边值问题 根据给定的边界条件求解静电根据给定的边界条件求解静电02=场的电位分布。场的电位分布。利用格林函数，可以求解泊松方程。利用格林函数，可以求解泊松方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程利用分离变量法可以求解拉普拉斯方程。求解静
10、电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法。8静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波3.2 镜像法3.2 镜像法实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，实质: 以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。由空间，从而使计算过程大为简化。这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而
11、这种方法称为镜像法。称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。9静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。来的边界条件。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷荷分布才有可能确定其镜像电荷荷分布才有可能确定其镜像电荷荷分布才有可能确定其镜像电荷。10静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波（1）点电荷与无限大的导体平面（1）点电
12、荷与无限大的导体平面PP介质介质qr r介质介质qr rhr介质介质导体导体介质介质hq介质介质个镜像点电荷个镜像点电荷 代替边界的影响代替边界的影响使整个空间变使整个空间变以一以一个镜像点电荷个镜像点电荷q代替边界的影响代替边界的影响，使整个空间变使整个空间变成均匀的介电常数为成均匀的介电常数为的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点P 的电位的电位由由q及及q共同产生，即共同产生，即qq rq rq +=4 4qq=无限大导体平面的无限大导体平面的电电位为零位为零11无限大导体平面的位为零无限大导体平面的位为零静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波电场线与等位面的分布
13、特性与电偶极子的上半部分电场线与等位面的分布特性与电偶极子的上半部分完全相同完全相同完全相同完全相同。z?电场线电场线等位线等位线12静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波qr rPqr rP介质导体介质导体介质介质hhrq介质介质* *根据电荷守恒定律根据电荷守恒定律镜像点电荷的电荷量应该等镜像点电荷的电荷量应该等q根据电荷守恒定律根据电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该等镜像点电荷的电荷量应该等于导体表面上感应电荷的总电荷量。于导体表面上感应电荷的总电荷量。* *上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边
14、界条件未变。为在上半空间中，源及边界条件未变。13静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须必须像法像法但是为了保证这种劈形边界的电位为零但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须必须引入几个镜像电荷。引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。3q?qq/3? /3q?14静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波仅当这种导
15、体劈的夹角等于仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为什么？才可求出其镜像电荷。为什么？位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加位于无限大的导体平面附近的线电荷，根据叠加原理得知原理得知同样可以应用镜像法求解同样可以应用镜像法求解原理得知原理得知，同样可以应用镜像法求解同样可以应用镜像法求解。lll15静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波（2）点电荷与导体球若导体球接地，导体球的电（2）点电荷与导体球若导体球接地，导体球的电位为零位为零。令镜像点电荷令镜像点电荷q位位位为零位为零。令镜像点电荷令镜像点电荷q位位于球心与点电荷于球
16、心与点电荷q 的连线上，的连线上， qOP ar r 那么球面上任一点电位为那么球面上任一点电位为qfOdqrq rq +=4 4为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为电荷为电荷为电荷为 qrrq=16静电场的边值问题电磁场与电磁波静电场的边值问题电磁场与电磁波为了使镜像电荷具有个确定的值为了使镜像电荷具有个确定的值必须要求比必须要求比为了使镜像电荷具有为了使镜像电荷具有一一个确定的值个确定的值，必须要求比必须要求比值对于球面上任一点均具有同一数值。值对于球面上任一点均具有同一数值。rr若若 OPq OqP ，则，则Par常数= fa rrqfOadqrqaq=求得镜像电荷为求得镜
