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1、数学竞赛与数学奖 第七十三届 W i l l i a m L o we l l Pu t n a m 数学竞赛 Le o n a r d F Kl o s i n s k i Ge r a l d L Al e x a n d e r s o n Ma r k Kr u s e me y e r 2 0 1 2年 1 2月 1日举行了第 7 3届 Wi l l i a m L o w e l l P u t n a m 数学竞赛竞 赛由 Wi l l i a m L o w e l l P u t n a m 奖励基金会资助该基金会是 由 P u t n a m 夫人为 纪念其丈夫而出资设立的
2、每年一次的竞赛 由美国数学协会 f t h e Ma t h e ma t i c a l A s s o c i a t i o n o f Ame r i c a ) 主办按照竞赛规则，结果如下 一等奖 2 5 ， 0 0 0 美元奖给哈佛 ( H a r v a r d ) 大学数学系， 3名队员每人获 1 , 0 0 0 美元奖金 二等奖 2 0 ， 0 0 0 美元奖给麻省理工学院 ( MI T ) 数学系， 3名队员每人获 8 0 0美元奖金 三等奖 1 5 ， 0 0 0 美元奖给洛杉矶加州大学 ( U C L A ) 数学系，3 名队 员每人获 6 0 0美元奖金四等奖 1 0
3、 ， 0 0 0美元奖给石溪 ( S t o n y Br o o k )大学 ) 数学系，3名队员每人获 4 0 0美元奖金五等奖 5 ， 0 0 0美元奖给卡 内基梅隆 ( C a r n e g i e Me l l o n ) 大学数学系，3名队员每人获 2 0 0美元奖金 ( 按校名的英文序)杨百翰 ( Br i g h a m Y o u n g ) 大学，西北 ( No r t h w e s t e r n ) 大 学，普林斯顿 ( P r i n c e t o n ) 大学，不列颠哥伦比亚 ( B r it i s h C o l u m b i a ) 大学，耶 鲁 (
4、Y a l e ) 大学的代表队获荣誉提名奖 个人成绩前 5名 ( 其中麻省理工学院 3名，哈佛大学 2名) 每人获 2 ，5 0 0 美元奖金，并成为 P u t n a m会员 ( P u t n a m F e l l o w ) 个人成绩第 6 1 6名每人获 1 ， 0 0 0美元奖金个人成绩第 1 7 2 5名每人获 2 5 0美元奖金第 2 6名 ( 含) 之 后的 5 9位个人获荣誉提名奖并表扬了其他的 1 7 名个人 ( 即得分在前 1 0 1 位 的个人选手获得 了奖金或表扬 译注 ) 来 自加拿大和美国的 5 7 8个学院和大学的 4 2 7 7名学生参加了这次竞赛 有
5、4 0 2 个院校组队参赛命题委员会由德克萨斯基督教 ( T e x a s C h r is t i a n ) 大学 的 Ge o r g e T Gi l b e r t( 主席) ， 布林莫尔 ( B r y n Ma w r ) 学院的 D j o r d j e Mi l i d e v i d 和位于 A n n A r b o r的密歇根 ( Mi c h i g a n ) 大学的 H u g h Mo n t g o me r y组成他们 出了题，而且提供 了众多解答中最优秀的解答与本文不同的解答 已在 数学 杂志 ( Ma t h e m a t i c s Ma g a
6、 z i n e ) ， 8 6 ： 1( 2 0 1 3 ) ， P 7 4 8 0中刊出，并已载于网上 h t t p： d x d o i o r g l O 4 1 6 9 m a t h m a g 8 6 1 0 7 4 2 ) 译 自 ： T h e A m e r Ma t h Mo n t h l y ， V o 1 1 2 0( 2 0 1 3 ) ， N o 8 ， P 6 7 9 6 8 7 ， T h e S e v e n t y T h i r d Wi l l i a m Lo we l l Pu t n a m Ma t h e ma t i c a l Co
7、 mpe t i t i o n，L e o n a r d FKl o s i n s k i ，Ge r a l d LAl e xa n d e r s o n， a n d M a r k Kr u s e me y e r Co p y r i g h t 2 0 1 3 t h e Ma t h e ma t i c a l As s o c i a t i o n o f Ame r i c a Re p r i n t e d w i t h p e r mi s s i o n Al l r i g h t s r e s e r v e d 美国数学协会授予译文出版许可 1
8、 ) 又称为 S t a t e Un i v e r s i t y o f Ne w Y o r k a t S t o n y Br o o k ， 石溪纽约州立大学 译注 2 ) 本文 自开始至正文 “ 问题”之前为译者根据原文编译 一 一 译注 3 6 4 问 题 问题 A1 令 d 1 ， d 2 ， d 1 2 是开区间 ( 1 ， 1 2 ) 中的实数 证 明， 存在不同的指标 i ， J ， k ， 使得 d i ， d j ， d 是一个锐角三角形的边长 问题 A2 令 是一个集合 S上的一个可交换和结合的二元运算假设对于 S中的 每个 X和 Y ， 存在 ZS ， 使得
9、X Z=Y ( 这个 可以依赖于 X和 Y ) 证 明，若 a ， b ， C S ， 并且 a c =b c ， 则 a=b 问题 A 3 令 t厂 ： 一 1 ， 1 一 是一个连续函数，使得 ( i ) ， ( ) = ， ( ) 对 每 个 - 1 , 1】， ( i i ) f ( 0 ) =1 ， 并且 ( i i i )l i m 存在并且有限 z 1 一 x 1 一X 证 明，厂是唯一的，并把 f ( x ) 表成闭形式 问题 A 4 令 q 0 和 7 是整数， 并令 A和 JE 是实直线上的两个区间 令 是所有 b +mq的集合，其中 b 和 m 是整数，并且 bB， 并令
10、 S是所有 aA使得 r aT的集 合证明，如果 A和 B的长度的乘积小于 q ， 则 是 与某个算术级数的交 问题 A5 令 表示模素数 P的整数域， 并令 n是一个正整数 令 是 中的一个 固定的向量， 令 M 是其元在 中的礼 n 矩阵， 并用 G ( ) = + M 定义G ： 一 令 G ( k ) 表示 G与其本身的 k重复合，即，G ( ) ( ) =G ( ) ， 并且 G( + ) ( ) =G( G ( ) ( ) ) 确 定所有的数对 P ， n ， 对于这些数对， 存在 v 和 ， 使得P 个向量 G ( ( 0 ) ( k =1 ， 2 ， P ) 各不相同 问题 A
11、 6 令 f ( x ， Y ) 是 。 上的一个实值连续函数假设，对于面积为 1 的每个矩 形区域 R ， f ( x ， Y ) 在 R上的二重积分都等于 0 f ( x ， Y ) 必定恒等于 0吗? 问题 B1 令 s是从 0 ， 。 。 ) 到 0 ， 。 。 ) 的一个函数类，它满足 ( i ) 函数 f l ( ) =e 一1 和 ， 2 ( ) =I n ( +1 ) 在 中； ( i i ) 若 f ( x ) 和 9 ( X ) 在 s中，则 函数 f ( x ) +9 ( z ) 和 厂 ( 9 ( ) ) 在 s中； ( i i i ) 若 f ( x ) 和 g (
12、x ) 在 s中，且对所有 X 0有 f ( x ) 夕 ( ) ， 则函数 f ( x ) 一a ( x ) 在 S 中 证明，如果 f ( x ) 和 9 ( x ) 在 s中，那么函数 f ( x ) g ( x ) 也在 中 问题 B2 令 P是一个给定的 ( 非退化)多面体证 明，存在一个具有下述性质的 常数 c ( P ) 0 ： 如果 礼个球的体积和等于 ， 并且此 几个球包含 P的整个表面，那么 nc ( P ) V 。 问题 B 3 2 n个队的一次循环锦标赛历时 2 礼一1 天，具体如下每一天，每个队与 另一队进行一次 比赛，在这 n次 比赛中的每一次 中都有一队获胜，一队
13、败北在赛事的 进程中，每个队恰与其余每个队比赛一次是否必定能够在每天选取一个获胜 队，而使 任何被选取的队不多于一次被选 7 3 65 问题 B4 假设 a 0=1 ， 并且对于 他=0 ， 1 ， 2 有 a n + 1 =a +e - a n 当 佗_ _ 0 ( 3 时， a 一lo g n是否有一个有限的极限? ( 这里 lo g n=l o g 咒=i n n ) 问题 B 5 证明，对于任意两个有界函数 夕 1 ， 夕 2 ： 一 1 ， ) ， 存在函数 1 ， 2 ： 一 ， 使得对每个 X ， 有 问题 B6 令 P是一个奇素数，使得 P三2 ( mo d 3 ) 用 丌 (
14、 ) 三X 。 ( mo d p ) 定义模 P剩 余类的一个置换 丌 证明，丌是一个偶置换，当且仅当 P三3 ( mo d 4 ) 解 答 在下面每个题号后面 1 2 个数组成的数组 ( n l 0 ， 他 9 ， n 8 ， n O ， 竹 一 1 ) 中，n j ( 1 0 J 0 ) 是得分前 1 8 9 名参赛者中该题得 J 分的学生人数，而 n 一 是其中未交该题解答的人数 A1 ( 1 4 2 ， 2 8 ， 1 4 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 2 ， 0 ， 1 ， 2 ) 解答 以非减次序排列诸 d i 我们证明，对于某个 i ， 有 d 21 ， 因而我们必
15、定对某个 i 有 d 20 ， 令 w ( y ) =u ( y ) s i n h y ， 即得 w ( 2 y ) =叫 ( ) 因为极限 l i m + ) = Y =l i m一 = 1l i m一 存在，我们即推得 w ( y ) 是常数，因而对于某个常数 c 有 f ( x ) =c 、 1 一 从 f ( 0 ) =1 ， 我们得到 f ( x ) =、 1 一X A4 ( 5 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 0 ， 2 ， 9 7 ， 8 5 ) 解答假设 与 B长度之积小于 q 令 = r1 0 j 并令 A=MZ 。 ， 它是 z 中的一个格 考虑 A位于矩形 A X B中的元素；我们首先证明， 这些格点必定共线如果这些格点中有 3个点不在一条直线上，则以这 3个点为顶点的 三角形的面积至少为 ( 1 2 ) d e t ( M) =q Z 然而，在矩形中的一个三角形的面积至多为此 矩形面积的一半，而所论矩形的面积小于 q ， 这是一个矛盾令 表示
