吸波材料与微波暗室问题的数学建模

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1、 12011 年全国研究生数学建模竞赛年全国研究生数学建模竞赛 B 题题 吸波材料与微波暗室问题的数学建模吸波材料与微波暗室问题的数学建模 新型隐身歼击机歼-20 最近试飞成功，标志着我国在隐身技术领域取得了重大进展。所谓飞机隐身，是指在飞机有关部位涂覆或粘贴吸波材料，合理设计飞机外形与布局等使敌方探测系统（如无线电雷达，红外雷达，激光雷达等）只接收到大大减弱后的飞机反射信号，从而降低被发现或跟踪的可能。 隐身技术的基础研究包括探索不同频段上吸波的机理，研制高效吸波的特殊材料，将吸波材料设计成合理的形状使之发挥最大效能等， 其成果不仅可以应用到飞机舰船坦克等军用装备，也可以应用到其他科技领域。

2、例如，许多以电磁波，光波或声波的传播为信息载体的仪器设备，都需要功能与性能的测试，甚至还要对其工作过程进行尽可能真实的仿真。早期这类测试常选择在无电磁干扰的偏僻空旷山区进行。在近代各种干扰已无法全部避免，所以近三十多年来这样的测试与仿真（例如本题将要研究的导弹制导系统的仿真） ，放置在被称为“无回波暗室”的实验室中进行。 无回波暗室能够屏蔽外界干扰信号， 通过内墙 （包括地面与天顶面）敷设的吸波体，吸收各类反射信号，使室内反射大为减弱，被测设备接收到的“似乎”只有测试信号源发出的实验所需信号。这样，它为测试设备提供了一个几乎没有反射信号的 “自由空间” 。 图1 给出了二维示意。 由物理学知道

3、，除了真空，没有一种介质对于各频段的电磁辐射波（甚至包括声波）的传播是绝对透明的，波从一种介质辐射到另一种介质时，都将发生不同程度的反射、折射乃至散射，一部分波的能量被 图 1 无回波暗室工作示意图 吸收转化为介质的内能。定义反射率为反射波功率rP与入射波功率iP之比：/riP Pr=，显然1rsin(i1 m) sin(m + 1) i1)sin(m + 2) sin(m + 1)(7)辐射线的反射次数为m + 1次。其中，OP如图8所示。证明： 在此仅考虑m为偶数的情况， 当m为奇数时同理可证。如图8将LR1的出射线反向延长，同时将LR2在第m + 1次反射后的辐射波线段双向延长， 再将L

4、R3在第m+1次反射后的辐射线反向延长。 则由引理4， 三条延长线必相交于一点，记为Q，且PQE = 1，EQF = 2，1、2分别由式(4)和式(5)给出，将LR3在第m+1次反射后辐射线的延长线与OP的交点记为E。 则确定LR3反射次数的问题转化为判断PE与PO相对长短的问题。若PE PO，则LR3反射的次数为m + 2次，否则LR3的反射次数为m + 1次。该问题的临界条件为PE = PO(8)求解过程如下：过O点作线段BOC垂直于OF， 交FA于B， 交FD于C。 则因为OF是CFB的角平分线， 所以OB = OC(9)在三角形OCD中， 由正弦定理得sin(ODC) OC=sin(O

5、CD) OD(10)其中， ODC = (m + 2)， OCD = (m + 1)， 为半锥角。在三角形OAB中， 由正弦定理得sin(ABO) OA=sin(BAO) OB(11)其中， ABO = (m + 1)， BAO = m。联立式(9)、 (10)和(11)可得OA =sin(m + 2) sin(m)OD(12)根据LR2的对称性得OD = 1 OP， 代入式(12)， 得OA =sin(m + 2) sin(m)(1 OP)(13)在三角形AQE和三角形EQP中， 根据正弦定理得sinQAE QE=sin2 AE(14)12sinQPE QE=sin1 PE(15)其中， Q

6、AE = m， QAE = m。联立式(14)和(15)得PE AE=sin1 sin2sin(m) sin(m + 1)(16)式(8)的临界条件等价于下式 PE AE=PO OA(17)联立式(15)、 (16)和(17)得临界条件为OP 1 OP=sin1 sin2sin(m + 2) sin(m + 1)(18)当PEAEPO OA， LR3的反射次数为m + 2次， 此时OP 1 OPsin1 sin2sin(m + 2) sin(m + 1)(19)当PEAEPO OA， LR3的反射次数为m + 1次， 此时OP 1 OPsin1 sin2sin(m + 2) sin(m + 1

7、)(20)将1和2的表达式代入即可得式(6)和式(7)。证毕。4.2.2 反射次数模型验证为验证上述定理的正确，将反射次数模型求解的结果与仿真结果进行比较。假定尖劈半锥角为5，令射向角i由0变化至90，OP由0变化至1（OD长度为1） ，结果如图9和10所示， 图中灰度值代表反射次数的大小。 模型仅考虑了i 的情况， 所以图10中当i 时的情况，由反射次数模型，给定射向角i，第一次入射到尖劈面的入射角i1由式(1)求得， 则由式(19)和式(20)可以判定其反射次数， 记为N。由引理1， 该入射波线在第N次反射时，其入射角为iN，大小为2(N 1) i1。若N为偶数，则最后一次反射在第一次入射

8、面的对称面， 如图11， 则由角度关系解得射出角r满足r= 2N i(22)其中i表示射入角。当N为奇数时， 同理可求得射出角为r= ( 2N i)(23)假定射出角向右为正，向左为负，所以式(22)与式(23)符号相反。最后可求得出射角为r= (1)N( 2N i)(24)4.2.4 反射波线辐射强度由引理1， 第 n 次反射的入射角in为in= i1 2(n 1) ， 则第n次反射， 反射波辐射强度Irn与入射波辐射强度Iin之比n为n=Irn Iin= cos(i1 2(n 1)(25)14其中， 为垂直入射反射率。 由引理4， 易得第n次反射的入射波辐射强度与第n1次反射的反射波辐射强

9、度相同， 即Iin= Ir(n1)(26)假设辐射线的反射次数为N， 入射波线的辐射强度为1， 则出射波线辐射强度为IrN= NIiN= NIr(N1)= NN1Ii(N1)= . = (Nn=1n)Ii1= (Nn=1cos(i1 2(n 1)(27)式中反射次数N由反射次数模型一节给出。4.3 三维模型的建立模型准备入射波线在尖劈空缺间的三维反射模型可通过二维模型的扩展得到。首先用几何光学模型研究电磁波在三维空间的反射规律。图 12 入射波线在三维空间的反射示意图在尖劈斜面上建立坐标系Ox1y1z1， 如图12所示， 坐标原点建立在反射点O， Ox1正向与图2中x轴正向相同； Oy1轴位于

10、尖劈斜面且垂直于Ox1， Oy1指向尖劈顶端为正， Oz1轴垂直于尖劈斜面， 三轴构成右手坐标系。 假设一条辐射线AO射入尖劈O点， 然后沿OB反射出。在此为了便于研究反射转换， 将图12沿着x1轴正向看入的示意图画出， 如图13。为了便于推导，假设入射波线为向量 AO ，反射波线为向量 OB 。将向量 AO分解为平行于Ox1轴的 FB 和y1Oz1平面内的向量 EO 。同理将向量 OB 分解为与Ox1轴平行的 FB和y1Oz1平面内的向量 OF 。即存在如下关系： AO = AE + EO, OB = OF + FB(28)假设向量 AO 的长度为1， 向量 AO 与y1Oz1平面的夹角为

11、， 向量 AO 在y1Oz1平面的投影 EO 与z1轴正向的夹角为 。 向量 OB 与y1Oz1平面的夹角为， 向量 OB 在y1Oz1平面的投影 OF 与z1轴正向的夹角为（90 , 0） 。根据反射原理知， =， = ， 则根据几何关系， 向量 AO 和 OB 在坐标系Ox1y1z1中可分别表示为： AO = (sin,cossin,coscos)(29)15图 13 视角沿x1轴方向的反射示意图 OB = (sin,cossin,coscos)(30)向量 AE 、 EO 、 FB 和 OF 在坐标系Ox1y1z1中可分别表示为： AE = (sin,0,0) EO = (0,cossi

12、n,coscos)(31) FB = (sin,0,0) OF = (0,cossin,coscos)(32)假设在y1Oz1平面内的向量 EO一次反射后的反射线记作 OE。则由反射定律知反射线 OE与z1轴正向的夹角等于， 且? EO? =? OE? = cos ， 故 OE可表示为： OE= (0,cossin,coscos)(33)根据式(31)、(32)和(33)可知向量 OE= OF ，E与F重合，即反射线向量 OB 可由 FB与 OE合成。综上可得， 入射波线在三维空间的传播可分解为沿着x1轴方向的直线传播和y1Oz1平面的反射。入射波线反射次数用单位矢量表示入射波线的传播方向，则

13、射向角为，方位角为，的入射波线，其方向矢量为v = (sincos,sinsin,cos 。将该矢量分解为平行于x轴方向的矢量v1= (sincos,0) 和在yoz平面的矢量v2= (sinsin,0,cos) 。v 在尖劈斜面的反射后的单位矢量可以看做v1和v2分别在尖劈斜面反射后叠加而成。v1始终平行于两尖劈， 不发生反射， 将沿直线传播； v2将在尖劈空缺间发生反射， 其反射特性与上述二维情况相同， 所以只需确定v2的入射位置、 入射角等参数， 即可求得反射次数。 入射波线与尖劈顶端平面的交点设为P，则O点与P点沿Oy轴方向的距离设为OPy，则OPy等价于二维情况OP的距离， 确定了v

14、2的入射位置。如图所示， AO表示矢量v， 其入射到尖劈面的16入射角为i， EO 即矢量v2入射角为1， AE 表示矢量v1，与Ox轴平行，v和v2的夹角设为， 由三余弦定理得cosi1= cos1cos(34)在坐标系Oxyz内， 容易求得 = arccos 1 sin2cos2(35)在坐标系Oxyz内， v2的射向角为i2= arctansinsin cos(36)容易求得v2的入射角为1= 2 arctansinsin cos(37)由定理2得， 反射次数由入射位置OPy和1确定， 模型为：m = 1 (38)当光线入射位置满足OPy 1 OPysin(1 m) sin(m + 1) 1)sin(m + 2) sin(m + 1)(39)光线的反射次数为m+2次；当光线入射位置满足OPy 1 OPysin(1 m) sin(m + 1) 1)sin(m + 2) sin(m + 1)(40)光线的反射次数为m+1次。反射波线方向v1经过最后一次反射后，出射矢量为vr1，并且vr1= v1。v2经过最后一次反射后，出射矢量为vr1， 其长度与v2相同， 与Oz轴的夹角为r2参考式(24)给出， 则r2= (1)N( 2N i2)(41)v2r= 1 sin2cos2(0,sinr2,cosr2)(42)其中N为反射次数。i