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1、线性代数复习资料线性代数复习资料 一、一、1.设 A 为 3 阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=-8 2.设矩阵 A= 11,B=(1,1),则 AB= 11113.设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= 4321,则 A-1= 21 43214.设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的全部特征值为 0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0 的基础解系所含解向量的个数为 2 5设|A|是四阶行列式，且|A|=-2，则|A|A|=-25 6若矩阵 A 与 B 相似，则|A| = |B|； 7当 A 是( )时，A 必合同与单位阵正定矩阵 8n 阶实对称矩阵 A 正定的充要条件是1A为正定矩阵 9.行列
2、式2110的值为-1 10.已知 A= 3221,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为-2 11.设矩阵 A= 4231,P= 1011,则 AP3= 220112.设 A,B 都是 3 阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=-4 13.已知向量组 1,=(1,2,3),2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)线性相关,则数 k=5 14.设 2 是矩阵 A 的一个特征值,则矩阵 3A 必有一个特征值为 6 15.与矩阵 A= 3021相似的对角矩阵为 300116.设矩阵 A= k221,若二次型 f=xTAx 正定,则实数 k 的取值范围是 k4 17设 A 为二阶方阵，
3、B 为三阶方阵，且|A|=|B|=2，则*020AB32 18 , 为三维列向量，已知三阶行列式| 4,2 ,2| 40 ， 则行列式|, ,| =-5 19设 A,B 均为四阶方阵，r(A)=3, r(B)=4，则 r(A*B*)=1 20设131 231A，已知 A6=E，则 A17=131 231 21设为四阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为 0 22设 A,B 均为 n 阶方阵，且|AB|=1，则方程组 AX=0 与 BX=0 的非零解的个数的和为 0 23若 A 相似于 diag(1, -1,2)，则13|A 1 8 二、二、 1. 求行列式 D=.0120101221
4、010210的值2. *1*102010 ,2,001AA XAA XEAA 设且其中是 的伴随矩阵.X求矩阵 *11112 2 (2)102102 (2)010010 001001102102102102 010010010010 001001001001104 010 001A XAAXE AXAXA X AEAXA AE 解：由已知 上式两端左乘 得3. 设矩阵 A=,000012021B,100001010 求满足矩阵方程 XA-B=2E 的矩阵 X. 4. 设矩阵 A=3030002aa的三个特征值分别为 1，2，5，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P，使 P-1AP=5000200
5、01。 5. 设矩阵.012b,121011322A (1)求 A-1; (2)求解线性方程组 Ax=b,并将 b 用 A 的列向量组线性表出. 6. 若向量组 k202,k62,311,1114321的秩为 2,求 k 的值. 7. 求二次型 f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换3332123211y2xyy2y2xyy2y2x所得的标准形. 8. 123(1,0,0,3) ,(1,1, 1,2) ,(1,2, 2,1) ,TTT设向量组( ) 11(2,3, 3,3) ,(0,1, 1, 1) ,TT向量组( )讨论向量组( )与向量组( )是否
6、等价. 12312112212121112011120 0123101231(,)0123101231 32131012311112010111 0123101231 0000000000 00000000003,(,r 解：由此可知并且31212312,)(,),r 所以与等价9. 取何值时，方程组 12312312321 2 5541xxx xxx xxx 无解、有唯一解或有无穷多解？在有无穷多解时求其通解。 121112112112121012355415541004594(1)1, ( )( )3,5 4(2), ( )23( ),5AAr AR Ar AR A 解：将增广矩阵 化成阶
7、梯形矩阵当且时方程组有唯一解；当时方程组无解；(3)111121101 00330011 00990000A 当时，方程组有无穷多解，其通解为11 01 ,. 10Xkk为任意常数10. 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为-1,1,2,设 B=A2+2A-E,求 (1)矩阵 A 的行列式及 A 的秩. (2)矩阵 B 的特征值及与 B 相似的对角矩阵. 三、三、1. 设 n 阶矩阵 A 满足 A2=E,证明 A 的特征值只能是1. 2设1与2是 AX=b(b0)的两个不同解(A 是 mn 矩阵)，是 AX=0 的一个非零解，证明 (1)向量组1,1-2线性无关； (2)若 r(A)=n-1，则向
8、量组,1,2线性相关 11212121221212212122111121221212211212(1)()0, ()0()0 , ()0 0,0,0 ()0,()0, 0,0 ,. (2)0kk kkk A kkAk A Ab Ab kkbk b k bbk kkk kAx 证： 设则上式左乘得由题设可知则上式即为也即因所以 则由有 又因所以 故线性无关 由于与都是的121212121212122122221 111212, ()10, , ()0, 0,()0,00, ,r AnAx kk kk kkk kk kk kk 非零解 又因，所以的基础解系只含一个解向量 从而线性相关 故存在不全
9、为零的数使其中必有否则由必有 这与不全为零矛盾.故即可由线性表示，因此线性相关.3设 n 阶实对称矩阵 A 满足关系式 A2+6A+8E=0，证明：A+3E 是正交矩阵 22,(3 )33 ,(3 ) (3 )(3 )693.TTTTAAAEAEAEAEAEAEAAEEAE证：因为故从而所以为正交矩阵1、行列式D=111213212223313233aaaaaaaaa的转置行列式TD= 。 2、若()ijn nAa为n阶矩阵，当满足 时，A 为对称矩阵。 3、A,B 是同阶可逆矩阵，则(AB)-1= 。 4、设向量组1125 ，2321 ，331017 ，42001089 ，则向量组1234,
10、 线性_（填线性相关或线性无关） 。 5、二次型222 123123121323(,)25226f x xxxxxx xx xx x的二次型矩阵为 。 6、 若行列式131050022x，则x =_。 7、 设 A=1111 ，则矩阵A的逆矩阵1A=_。 8、 设1(100)T，2(010)T，2(001)T，则向量组123, 线性_（填线性相关或线性无关） 。 9、设(1 10)，(030)，(120)，则324=_。 10、设阶矩阵A与B相似，矩阵A的所有特征值为1 1 1,2 3 4，则行列式B=_。 11、设 A 为 3 阶方阵，A=2，则4A=_。 12、A*是 A 的伴随矩阵，且
11、A 可逆，则（A*）-1=_。 13、1 2 30 3 -2 0 6 At ，当t _时，( )2R A 。 14、A 是 n 阶矩阵，实数是 A 的一个特征值，则mA（m为正整数）的一个特征值为 。 15、设矩阵1 2 22 1 -2 -2 -2 1A 的三个特征值为-1,1,3，则矩阵 A 的一个相似对角矩阵为 。 二、单项选择题：二、单项选择题： 1、 设 A 是 4 阶方阵，且|A |=5，则|3A |= (A) 15； (B) 60； (C) 405； （D） 45。 2、A是 A 的伴随矩阵，且A0，则 A 的逆矩阵 A-1= (A) AA ； (B)AA ； (C)A A； (D)AA。 3、矩阵 A 的秩为 r，则知 （A）A 中所有 r 阶子式不为 0； （B）A 中所有 r+1 阶子式都为 0； （C）r 阶子式可能为 0,r+1 阶子式可能不为 0； （D）r-1 阶子式都为 0。 4、设123,k 为n为向量组，且123(,)kRr ， （rn） ，则 (A) 该向量组中任意 r 个向量线性无关；(B) 该向量组中任意 r+1 个向量线性相关； (C) 该向量组中存在唯一的极大无关组；(D) 该向量组中有若干个极大无关组。 5、对于两个相似矩阵，下面的结论不正确的是 (A) 两矩阵的特征值相同；
