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1、 - 1 -定积分、微积分基本定理与应用定积分、微积分基本定理与应用 一知识结构一知识结构定积分的定义:(注意整体思想))(lim)(1inibanfnabdxxf 定积分的性质: (常数) ;babadxxfkdxxkf)()(k;bababadxxfdxxfdxxfxf)()()()(2121 (其中。 (分步累加)bcbacadxxfdxxfdxxf)()()()bca微积分基本定理(牛顿莱布尼兹公式):bab aaFbFxFdxxf)()(| )()((熟记() , 11nxxn n1nxxln1xxcossinxxsincos,) aaax x ln xxee2 定积分的应用:定积分
2、的应用:求曲边梯形的面积:(两曲线所围面积) ; dxxgxfSba) )()(注意:若是单曲线与 x 轴所围面积,位于 x 轴下方的需在定积分式子前加“)(xfy ”求变速直线运动的路程:;badttvS)(求变力做功:。badssFW)(二二. 典型例题典型例题 【典型例题典型例题】例 1(1)由抛物线和直线 x=1 所围成的图形的面积等于 ( )xy 2A1 BC D34 32 31(2)如图,阴影部分的面积是()AB32329CD332 335例 1(2)- 2 -(3)=()dxx|4|102A B 321 322C D323 325(4)= dxx 22 2cos(5)按万有引力定
3、律,两质点间的吸引力,k 为常数,为两质点的质量,221 rmmkF 21,mmr 为两点间距离,若两质点起始距离为 a,质点 m1沿直线移动至离 m2的距离为 b 处,试 求所作之功(a) 例 2 如图,求由两条曲线,及直线 y= -1 所围成图形的面积2xy24xy例 3如图,抛物线 C1:y= -x2与抛物线 C2:y=x2-2ax(a0)交于 O、A 两点若过原点的直线 l与抛物线 C2所围成的图形面积为,求直线 l 的方程3 29a例 4已知 A(-1,2)为抛物线 C:y=2x2上的 点直线 l1过点 A,且与抛物线 C 相切直线 l2:x=a(a-1)交抛物线 C 于点 B,交直
4、线 l1于 点 D (1)求直线 l1的方程;(2)设ABD 的面积为 S1,求及 S1的值;BD(3)设由抛物线 C、直线 l1、l2所围成的图形的面积为 S2,求证:S1S2的值为与 a 无 关的常数yxo 122-1-1ABCD2xy24xy例 2 图例 3 图A- 3 -【课内练习课内练习】1=()50(24)xdxA5B。4C。3D。22=()211ln xdxxAB。C。D。21ln 22ln22ln 2ln23 若,且 a1,则 a 的值为() 11(2)3ln2axdxxA6B。4C。3D。2 4 已知自由落体运动的速率 v=gt,则落体运动从 t=0 到 t=t0所走的路程为
5、()A B C D2 0 3gt2 0gt2 0 2gt2 0 6gt5 曲线与直线所围成的图形(阴影部分)的面积等于 2xy 2 xy6 。 0dxF tt 7= 。( cos5sin2)daaxxxx 8 计算下列定积分的值(1);(2);(3)。312)4(dxxxdxxx2 0)sin( dxx222cos9 平地上有一条小沟,沟沿是两条长 100m 的平行线段,沟宽 AB 为 2m,与沟沿垂直的平 面与沟的交线是一段抛物线,抛物线的顶点为 O,对称轴与地面垂直,沟深 1.5m,沟中水深 1m ()求水面宽; ()如图所示形状的几何体称为柱体,已知柱体的 体积为底面积乘以高,沟中的水有
6、多少立方米?- 4 -10设是二次函数,方程有两个相等的实根,且)(xfy 0)(xf22)(xxf(1)求的表达式)(xf(2)若直线把的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分,) 10(ttx)(xfy 求 t 的值- 5 -定积分、微积分基本定理与应用定积分、微积分基本定理与应用 A 组组1 下列有定义的定积分为()AB。C。D。111dxx221 cosdxx420(2)dx x 20ln xdx2=()dxeexx10)(A B2e C Dee1e2 ee13 曲线与坐标轴围成的面积()23, 0,cosxxyA4 B2 C D3254 若=a3-2(a1) ,则 a= 。20(345
7、)axxdx5= 。94(1)dxxx6 求定积分:。12232 0(9)xxdx7 求曲线与轴所围成的图形的面积xxxy223x8 如图,抛物线与直线 y3x 的二交点为 A、B.点 P 在抛物线的弧上从 A 向 B 运24yx动。(1)求使的面积为最大时 P 点的坐标;PAB( ,)a b(2)证明由抛物线与线段 AB 围成的图形,被直线 xa 分为面积相等的两部分.xy024 2 4 6 812102424BPA- 6 -定积分定积分 微积分基本定理与应用微积分基本定理与应用 B 组组1=()23 0(2cos1)2xdx AB。C。D。3 21 21 23 22=()320|312|x
8、dxA21B。22C。23D。24 3 下列命题:若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则为 R 上的偶函数; 0( )xf t dt若 f(x)是周期为 T(0)的周期函数,则; 0( )( )aa TTf x dxf x dx。 0( )( )xf t dtfx其中正确命题的个数为() A0B。1C。2D。34 由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。22yxyx 5 已知弹簧每拉长 0. 02 米要用 9. 8N 的力,则把弹簧拉长 0. 1 米所作的功为 6 求由曲线与 x 轴所围的封闭区域的面积。22yxx7 设某物体一天的温度 T 是时间 t 的函数,T (t) = at3+bt2
9、+ct+d (a0),其中温度的单位是,时间的单位是小时,t=0 表示 1200,t 取正值表示 1200 以后若测得该物体在Co800 的温度为 8,1200 的温度为 60,1300 的温度为 58,且已知该物体的温CoCoCo度在 800 和 1600 有相同的变化率 (1)写出该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式; (2)该物体在 1000 到 1400 这段时间中(包括 1000 和 1400) ,何时温度最高? 并求出最高温度;(3)如果规定一个函数在上函数值的平均为)(xf)(,2121xxxx,求该物体在 800 到 1600 这段时间内的平均温度21)(112xxdxxfxx- 7 -8 一物体按规律 xbt3作直线运动,式中 x 为时间 t 内通过的距离,媒质的阻力正比于速 度的平方试求物体由 x0 运动到 xa 时,阻力所作的功