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1、 你的首选资源互助社区20102010 高中数学圆锥曲线高中数学圆锥曲线一、基础知识 1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的 距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)，参数方程为 sincosbyax（为参数）。若焦点在 y 轴上，列标准方程为12222 by ay(ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆12222 by ax，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点
2、的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为cax2 ，与右焦点对应的准线为cax2 ；定义中的比 e 称为离心率，且ace ，由 c2+b2=a2知 0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为120 20byy axx； 你的首选资源互助社区2）斜率为 k 的切线方程为222bkakxy；3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为2222cos2 caabl
3、。6双曲线的定义，第一定义： 满足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。 7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为12222 by ax，参数方程为 tansecbyax（为参数）。焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为12222 bx ay。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线12222 by ax(a, b0),a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、
4、右准线方程分别为.,22caxcax离心率ace ，由 a2+b2=c2知 e1。两条渐近线方程为xaky，双曲线12222 by ax与12222 by ax有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222 by ax，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若 P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是2222cos2 caab 。10
5、抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 你的首选资源互助社区 相交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点 F 坐标为)0 ,2(p，准线方程为2px，标准方程为 y2=2px(p0)，离心率 e=1.11抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=2px ；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为2cos12 p。12极坐标系，在
6、平面内取一个定点为极点记为 O，从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴，这 样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一 确定点 P 的位置，（，）称为极坐标。 13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若 01，则点 P 的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为cos1eep 。二、方法与例题 1与定义有关的问题。例 1 已知定点 A（2，1），F 是椭圆1162522 yx的左焦点，点 P 为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点 P 的坐标。解 见
7、图 11-1，由题设 a=5, b=4, c=2245 =3,53ace.椭圆左准线的方程为325x，又因为1161 254，所以点 A 在椭圆内部，又点 F 坐标为（-3，0），过 P 作 PQ垂直于左准线，垂足为 Q。由定义知53 | ePQPF，则35|PF|=|PQ|。所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+35|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左准线于 M)。所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把 y=1 代入椭圆方程得4155x，又 xb0）.F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为F。连结AF，OP，则21/AFOP 。
8、所以|FP|+|PO|=21(|FA|+|AF|)=a.所以点 P 的轨迹是以 F，O 为两焦点的椭圆（因为 a|FO|=c），将此椭圆按向量 m=(2c,0)平移，得到中心在原点的椭圆：1442222 by ax。由平移公式知，所求椭圆的方程为. 14)2(42222by acx解法二 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1)，则2,211yycxx，即 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点 A 在椭圆12222 by ax上，所以. 122 1 22 1by ax代入得关于点 P 的方程为14242222by acx 。它表示中心为 0 ,2c，焦点分别为 F 和 O 的椭圆
9、。例 4 长为 a, b 的线段 AB，CD 分别在 x 轴，y 轴上滑动，且 A，B，C，D 四点共圆，求此 动圆圆心 P 的轨迹。解 设 P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D 的坐标分别为 A(x-2a,0), B(x+2a,0), C(0, y-2b), D(0, y+2b), 记 O 为原点，由圆幂定理知|OA|OB|=|OC|OD|，用坐标表示为442 22 2byax，即.422 你的首选资源互助社区 当 a=b 时，轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x； 当 ab 时，轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线； 当 a0, b0)的右焦点 F 作 B1B2x轴，交双曲线
10、于 B1，B2两点，B2与左焦点 F1连线交双曲线于 B 点，连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证：H 的横坐标为定值。 证明 设点 B，H，F 的坐标分别为(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，则 F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ab2), (c, ab2)，因为 F1，H 分别是直线 B2F，BB1 与 x 轴的交点，所以.cossinsin,cossin20 baacabxbaabc 你的首选资源互助社区所以 222220coscossinsin2)sin( babacbbacx222222sincossinsin)sin( cbabacb
11、ba )sin)(sin()cossin(sin)sin(2bcbcbaacbba 。由得,)sin(cossin0xcbaba代入上式得, )sin(sin2020 bcxabacx 即 cax2 （定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例 7 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在准 线上，且 BC/x 轴。证明：直线 AC 经过定点。证明 设 22 2 12 1,2,2ypyBypyA，则 2,2ypC，焦点为0 ,2pF，所以),2(12 1ypyOA ，2,2ypOC，),22(12 1yp pyFA，
12、22 2,22yp pyFB。由于FBFA/，所以py 22 1y2-22212 2 2pypyypy1=0，即 22)(21 21p pyyyy=0。因为21yy ，所以02221p pyy。所以022121 yp pyy，即022122 1 ypypy。所以OCOA/，即直线 AC 经过原点。例 8 椭圆12222 by ax上有两点 A，B，满足 OAOB，O 为原点，求证：22|1 |1 OBOA为定值。证明 设|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=2，则点 A，B 的坐标分别为 A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由 A，B 在椭圆上有. 1
13、cossin, 1sincos222 2 222 2 222 1 222 1br ar br 你的首选资源互助社区即 22222 1sincos1 bar .cossin122222 2bar +得222211 |1 |1 baOBOA（定值）。4最值问题。 例 9 设 A，B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点，且 OAOB（O 为原点），求|AB|的最大值与 最小值。解 由题设 a=1，b=33,记|OA|=r1,|OB|=r2,trr21，参考例 8 可得2 22 111 rr=4。设m=|AB|2=)12(41)11)(4122 2 22 12 22 12 22 1ttrrrrr
14、r,因为2 2222222222 1sin1sincos1 baba abar，且 a2b2，所以22 12111 bra，所以br1a，同理 br2a.所以batab。又函数 f(x)=x+x1在 1 ,22ab上单调递减，在 22 , 1ba上单调递增，所以当 t=1 即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值 1；当abt 或ba时，|AB|取最大值332。例 10 设一椭圆中心为原点，长轴在 x 轴上，离心率为23，若圆 C：22)23(yx1 上点与这椭圆上点的最大距离为71，试求这个椭圆的方程。解 设 A，B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为 23, 0，半径|CA|=1，因为|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当 A，B，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取
