第三章刚体定点转动

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1、第三章刚体定点转动 第三章刚体定点转动 3.1 定点转动运动学 一、什么是定点转动？ 刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。 由于做定点转动时刚体上有一点固定不动， 一般以定点为基点。陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。它们都只有一点不动。 如图 3.1.1 所示的常平架中的圆盘可绕对称轴zO 转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的zzN外悬架内悬架O图 3.1.1 此，ON轴转动 而外悬架又可绕固定轴Oz转动，此三轴的交点O则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。 二、定点转动和定轴转动的联系与区别 1联系

2、：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。把某一瞬时角速度的取向， 亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O的锥面， 前者叫空间极面，后者则叫本体极面。刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图 3.1.2 所示。 zO转动瞬轴空间极面本体极面转动瞬轴空间极面本体极面图 3.1.2 2区别： （1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变， 定轴转动的转轴在空间的取向不变。 （2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。 而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的

3、函数。 1三、定点转动时刚体上任一点的速度 rdtrdvvvv= （3.1.1） O P r v R 图 3.1.3 如图 3.1.3 所示,刚体上任一点 P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R=. 四、定点转动时刚体上任一点的加速度 由加速度的定义知 rrrdtdrrdtdrdtd dtdavvvvvvvvvvvvvvvvv2)()(+=+=+= 而 Rrrvvvvv22)(=则 Rrdtdavvvv2= (3.1.2) 上式中的第一项rdtdvv 为转动加速度,第二项Rv2为向轴加速度. 例:半径为 a 的碾盘在水平面上做无滑滚动,长为 b 的水平轴 OA

4、 绕竖直轴 OE 以匀角速度1转动,如图 3.1.4 所示.求碾盘最高点 P 的速度和加速度. OEP r D A B 12xy a R 图 3.1.4 b 解: 碾盘绕定点 O 运动,取如图所示的直角坐标系,OA=b,AB=OE=a,j ai brP+=v要使碾盘在水平面上做无滑滚动,则瞬时角 速 度 的 方 向 为BO方 向 , 且iabjji1121+=+=v.则 kbj ai biabjrPP2)()(111=+=vvv. 或用瞬轴法: 2P 点速度大小:bPDP12=. 方向:oz 轴方向. 加速度: jabibrdtd dtdaPPP32 12 2 1=+=vvvvvv33.2 定

5、点转动刚体对定点的动量矩 一、刚体的动量矩 xyzOiriPii图 3.2.1 刚体是一特殊的质点系，刚体作定点转动时对定点 O 的动量矩（角动量）等于刚体上的各质点对定点 O 的动量矩之和（矢量和） 。如图 3.2.1 所示,设刚体上一质量为质点,位于点,位矢为imiPkzj yi xri+=v,到瞬时轴的垂直距离为iPi,刚体定点转动的角速度为kjizyx+=v,则质点对定点 O 的动量矩为 iPrrmrmrrmmrLiiiiiiiiiiivvvvvvvvvv)()(2= 刚体对定点 O 的动量矩为 (3.2.1) kLjLiLrrmrmLLzyxniiiiinii)(121+= =vvv

6、vvv其中 zzzyzyxzxiniiiziniiiyniiiixyzyzyyyxyxiniiiziniiiyniiiixyzxzyxyxxxiniiiziniiiyiniiixxIIIyxmyzmxzmLIIIzymzxmxymLIIIzxmyxmzymL+=+=+=+=+=)()()(212111212111212上式中的为刚体对 x,y,z 轴的转动惯量. 为惯量积,其定义如下: zzyyxxIII,zxxzzyyzyxxyIIIIII,)(),(),(212212212 iniiizziniiiyyiniiixxyxmIzxmIzymI =+=+=+=, . (3.2.2) iniii

7、xzzxiniiizyyziniiiyxxyzxmIIzymIIyxmII =111, ,定点转动的动量矩的方向与角速度的方向一般不同，而定轴转动动量矩的方向与角速度的方向一致。 为便于记忆，定点转动的动量矩可表示成下面的矩阵相乘形式： 4= zyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxIIIIIIIIILLL(3.2.3) 53.3 定点转动刚体的转动动能 3.3 定点转动刚体的转动动能 一、 刚体定点转动的转动动能 刚体定点转动的转动动能等于各个质点的动能之和.则 )222(21)(2121 21)(21 21 2122211112xzzxzyyzyxxyzzzyyyxxxzzyyxx

8、niiiiiniiiiniiiniiiKIIIIIILLLLmrrmmmE+=+= vvvvvvvvvv(3.3.1) 推导中用到公式:)()(ACBCBAvvvvvv= 二、定点转动转动动能的另一表达式 刚体定点转动的转动动能也可写成 2212112 21 21)()(21 21ImrrmmTiniiiiniiniii= =vvvv(3.3.2) 其中 I 为刚体绕瞬时轴的转动惯量。(3.3.2)式从形式上与定轴转动的表达式没有区别，但由于瞬时轴随时间变化，因此转动惯量也可能随轴不同。 63.4 刚体对过定点的任一轴的转动惯量，惯量张量，惯量主轴 一、刚体对过定点的任一轴的转动惯量 设瞬轴与

9、 x，y，z 三坐标轴夹角的余弦分别为,，则 =zyx, (3.4.1) 将(3.4.1)代入(3.3.1)得 2222)222(21zxyzxyzzyyxxKIIIIIIE+= (3.4.2) 比较(3.4.2)式与(3.3.2)得刚体对瞬时轴的转动惯量为 zxyzxyzzyyxxIIIIIII222222+= (3.4.3) 上式用于求刚体对过定点，且方位角的方向余弦为,的瞬时轴的转动惯量。刚体对轴的转动惯量及惯量积是不变的，因此在计算某瞬时轴的转动惯量时，只要已知轴的方位，就能方便求出其转动惯量。 二、惯量张量（inertia tensor） 由于瞬时轴相对刚体的位置不断变化，因此刚体对

10、瞬时轴的转动惯量也不断变化，这样，描述刚体绕定点转动的惯量不能简单地用一转动惯量来描述，而是要用由 9 个惯量系数组成的矩阵来描述，这一矩阵叫惯量张量。简言之，惯量张量是描述刚体绕一点转动惯性的物理量。 (3.4.4) zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIII由于xzzxzyyzyxxyIIIIII=,，因此，惯量张量的 9 个惯量系数中只有 6 个是相互独立的。 三、惯量主轴 1什么量惯量主轴？ 通过适当选择坐标系可使所有惯量积为 0，使惯量张量对角化，这样的坐标系叫该点的主轴坐标系，三坐标轴叫惯量主轴。对于刚体上不同的点，主轴一般是不7同的。主轴坐标系至少有一组。 2如何寻找

11、惯量主轴？ x y z o 图 3.4.1 匀质矩形薄板对中心点的惯量主轴 对于匀质刚体，如果有对称轴，则对称轴为惯量主轴；如果有对称面，则对称面的法线为惯量主轴。 如图 3.4.1 所示，匀质矩形薄板，对其中心点的惯量主轴为两对称轴和一对称面法线. 四、惯量椭球（ellipsoid of inertia） 1惯量椭球的作法与惯量椭球方程 刚体对过定点各轴的转动惯量各不相同，但只要已知惯量张量，则过定点任一轴的转动惯量均可计算得到。为了用几何图象形象直观地描述转动惯量随轴方向分布的情况， 可在该轴上取一长为 R 的线段 OP， 并令 R 与该轴的转动惯量有如下关系， IR1= (3.4.5)

12、则 OP 的长度能直观地反映转动惯量的大小,且转动惯量越大,线段 OP 的长度越短.过定点O有无穷多条轴,可用同样的方法截取一线段代表刚体对此轴的转动惯量.如果将这些线段的的末端连接起来,就构成一曲面,可以证明此曲面为一椭球面,且定点为椭球面的中心.证明如下: 设 P 点的坐标,OP 的三方向余弦为),(zyx,，则 RzRyRx/,/,/= (3.4.6) 将上式代入转动惯量的计算公式(3.4.3)得 (3.4.7) 1222222=+zxIyzIxyIzIyIxIzxyzxyzzyyxx这是一个二次曲面方程，只有三种可能，双曲面、抛物面或椭球面。因转动惯量为有限值， 因此 R 不可能为无穷

13、大， 因此此曲面不可能延伸至无穷远， 只能是椭球面。因其反映转动惯量的分布情况，故叫惯量椭球。 82说明 （1）对于不同的定点，惯量椭球是不同的。 （2）椭球一定存在 3 个对称轴，若以它们为坐标轴，则椭球方程能简化为： 1222=+zIyIxIzzyyxx(3.4.8) 这 3 个轴为惯量主轴，使惯量积为 0。 五、应用举例 例 1 （1）计算匀质矩形薄板绕其对角线AC的转动惯量。 （2）计算匀质矩形薄板对OL轴的转动惯量，设OL轴与ox轴的夹角为 600，且在矩形薄板所在平面。 解：设匀质矩形薄板质量为 m，长为 a，宽为b。对角线 AC 过板中心 O 点，取如图所示的三惯量主轴为坐标轴，

14、则0, 2222= += += babbaa，三惯量积为 0， x y z o 图 3.4.2 匀质矩形薄板绕对角线转动的转动A C B D a b L )(121,121,1212222bamImaImbIzzyyxx+= 转动惯量为2222 22 12babamIIIyyxx+=+= （2）OL 轴的三方向余弦为0,23,21= 则 )3(482222abmIIIyyxxOL+=+= 无须重新计算，很方便！ 例 2 计算匀质薄圆盘对过圆心且与盘面成 600的OL轴的转动惯量。 y x L O 图 3.4.3匀质薄圆盘 解:过 O 点作一直径为 Ox 轴,垂直盘面的中心轴为 y 轴,且设OL轴在Oxy面内,则z轴与ox,oy轴垂直.三坐标轴为惯量主轴,则 OL 轴的三方向余弦为 90,23,21= 而222 41,21,41mRImRImRIzzyyxx=, 则222 167RmIIIyyxxOL=+= 10