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1、第三次习题课第三次习题课 题型 1 用导数定义计算极限 例 1 已知( )f x在0x处可导，则 （1）00(3 )(lim h0)f xhf x h； （2）000()(lim2h)f xhf xh h； （3）0011lim ()()2nn f xf xnn； （4） 000lim()()xx f xf xx； （5）00()()lim(,)nn nnnnf xxf xyxy nx . 提示：变形成函数值的差与对应的自变量差的比的形式. （1）03()fx； （2）0()fx； （3）03()2fx； （4）01 ()fx； （5）02()fx. 例 2 设( )(1)(2)()f xx
2、xxxn，则(0)f = . 提示：方法 1：利用导数的定义；方法 2：设( )(1)(2)()g xxxxn，( )( )f xxg x，则( )( )( )fxg xxg x，从而(0)(0)!fgn. 练习 1：设(1)(2)()( )(1)(2)()xxxf xn xxx n，求(1)f . 答案为11( 1)(1)n n n. 练习 2:已知，且存在；(0)0, (0)0fg(0),(0)fg(0)0g，求 0( )lim( )xf x g x。答案为(0) (0)f g 练习 3： 已知函数( )f x在(0内可导，且满足,)( )0, lim( )1 xf xf x 1 10()
3、lim( )h xhf xhxef x，求( )f x. 提示：1 ( )xf x e. 例 3. 设函数)(x在点ax 处连续， 且)(x不恒为0， 又设)()(axxf)(x，axxg)()(x，试讨论与在)(xf)(xgax 处可导性. 解： 题中只假定)(x在连续，故只能从定义出发讨论与可导性)(xf)(xg)()(lim)(af)(lim 00axxax xxafxx a ，即在)(f xx 处可导的，且)()(aaf 而)()()(xaxagxag )()(lim)()(lim 00axxax xagxagxx，)()(lim)()(lim 00axxax xagxagxx故当0)
4、(a时，在)(xgax 处可导，且0)( ag，当0)(a时，在)(xgax 处不可导. 题型 2 连续性、可导性和导函数连续性判断 例 4. 设，试确定常数和，使函数在 020)1ln()(xbxxxaxfab)(xf0x点可导. 解： 因为在点应连续，由 )(xf0xaxaxf xx )1ln(lim)(lim 00，22lim)(lim 00 bxxf xx22)0(af 再看在)(xf0x点左右导数 1)1ln(lim2)1ln(lim0) 0()(lim) 0( 000 xx xxa xfxff xxx，bxbx xfxff xx 22lim0) 0()(lim) 0( 00知 1b
5、（另解：1)1ln(lim2)1ln(lim)(lim)0( 000 xxxaxff xxx )(lim)0( 0xff xbxbxbx xx 22lim2lim 00）（，从而） 1b例 5 设( )f x在xa的某个邻域内有定义，则( )f x在xa处可导的一个充分条件是（ ） （A）1lim ()( ) hh f af ah存在； （B） 0(2 )()lim hf ahf ah h存在； （C） 0()(lim2h)f ahf ah h存在； （D） 0( )()lim hf af ah h存在； 提示：这四个选项都是必要条件， （A）( )fa存在， （B） （C）可用反例1,( )
6、0,xaf xxa，则( )f x在xa处间断，而极限都存在且为 0，故选（D）. 练习：设，则(0)0f( )f x在可导的充要条件是（ ） 0x （A）201lim(1 cosh) hfh存在； （B） 0lim(1)hhfe 存在； （C）201lim(sinh) hf hh存在； （D） 01lim (2 )( ) hfhf hh存在；. 提示： （A） （C）可用反例( )f xx， （D）可用反例1,0( )0,0xf xx，故选（A）. 例 6 设( )f x可导，( )( )(1sin)F xf xx，则(0)0f是在( )F x0x 处可导的（ ） （A）充分必要条件（B）充
7、分但不必要（C）必要非充分（D）既非充分又非必要 提 示 ：( )f x可 导 ，在处 可 导 充 要 条 件 是( )F x0x ( )( ) sinxf xx在点 可 导 . 而0x 000lim xx( )imf x sin(0)l(0)0xf x ( )sinxfxx ， 00( )sin0( )sin(0) limlim(0)0xxf xxf xxfxx 即在处可导. ( )F x0x (0)(0)(0)0fff 练习：设( )f x在xa处可导，证明( )f x在xa处不可导的充要条件是且。 ( )0f a ( )0fa等 价 于 ： 设( )f x在xa处 可 导 ， 证 明(
8、)f x在xa处 可 导 的 充 要 条 件 是( )0f a 或 者。 ( )( )f afa0证明：设，不妨设，因为( )0f a ( )0f a ( )f x在xa处可导，所以( )f x在xa处连续，于是由极限的保号性知，0,( )f x(0, ),xU0，于是( )( )f xf x，这样( )f x在xa处可导。 设，于是( )0f a ( )( )( )( )( )( )limlimlimx axaxaxaf xf af xf xf af xxaxaxa=( )( )lim( ) xaf xf afaxa， 若，则( )0fa( )x af x不存在；若( )0fa，则( )00
9、x af x （存在） 。 综上所述： 若( )0,( )f af x在xa处可导； 若( )( )0,( )f afaf x在xa处可导； 若( )0,( )0,( )f afafx在xa处不可导；证毕！ 题型 3 分段函数的导数计算 例 7 设32( )3f xxxx，则使存在的最高阶数为（ ） ( )(0)nfn（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 提示：32324 ,012 ,024 ,0( )( )( )12 ,02 ,06 ,0x xx xx xf xf xfxx xx xx x24,0( )12,0xfxx， 即，故选（C）. (0)24(0)12ff练习：函数xxxxxf32
10、)2()(不可导点的个数是(B). (A)3, (B)2, (C)1, (D)0. 对于左右导数，有如下的定理： 设（1）( )f x在00,x x(0)上连续； （2）( )f x在00(,)x x上可导； （3）00lim( ) xxfx 存在；则00lim xx0()( )fxf x. 例8 设 0001sin)( xxxxxf ， 其中为常数， 且当0x时， 使x有意义， 讨论取何值时， 在0x点)(xf连续；)(xf可导；)(xf的导函数连续. 解： 要在连续，即)(xf0x 01limsin0 xxx，只要0； 要在可导，按导数定义应有 )(xf0x01sinlim001sin l
11、im100 xxxxxxx存在，只要01，即1 要的导函数在点连续，由)(xf0x0)0( f及xxxxxf1cos1sin)(21 xxxx1cos1sin2只要 0lim x01cos1sin2 xxxx得02 ，2. 练习：1.设21 cos,0( ) ( ),0xxf xx x g x x ，其中是有界函数，则( )g x( )f x0x在处（D ） （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续，但不可导（D）可导 2.设( )cos,0( ) , 0xxxf xx ax ，其中( )x(0)1,(0)0具有二阶导数，且， （1）确定的值，使a( )f x在处连续； （2）求0
12、x( )f x； （3）讨论( )f x在0x 处的连续性. 3. （1995 年高数三）设21arctan, 0,( ) 0, 0,xxf xx x 讨论)(xf 在0x处的连续性。 提示：21arctan lim)0(20 xxx f x，2)121(arctanlim)(lim42200 xx xxf xx， 所以在处是连续。 )(xf 0x题型 4 利用导数定义求函数方程 例9 设( )f x在上 有 定 义 ， 且(, )(0)(0)fa a， 对，,(,x y )( ) 1( ) ( )()f xff xyy f x fy ，求( )f x. 提示：在条件中令，0(0)xyf 02
13、 200( ) )( )1(lim hhf x hf xf x0( )( )( )1( ) ( )( )limlim(0)1( )1( ) ( )hf hf xf xf hfxf hf xffxhhhf x f h 于是解此微分方程得( )tanf xax. 练习：设( )f x在(,上有定义，且) (1)(0)fa a，对,(,x y) ，()( )( )f xyf xf y，求( )f x.（答案为( )lnf xax） 题型 5 显函数的导数计算 例 10 求下列函数的导数： （1）arcsinxye； （2）431sinxyx ex； （3）2 22111arctan 1ln2411xyx x 1. （4） 设txxxttf211lim)( ，求 )(xf （5） 设，其中二阶可导，求xfylnfy . 提示： （1） 22(1)xxey xe ； （2）21111(c41224yyot)xxx ； （3）令21ux，则 321(2) 1xuxyy u xxx . （4）ttxxtexttf2211lim)( ， 。 )21 (2)(teteetf
